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#Notons <math>\sigma_1=\sum x_i</math> et <math>\sigma_2=\sum_{i<j}x_ix_j</math>. L'une des [[w:Identités de Newton#Expression des sommes de Newton|identités de Newton]] (ou un calcul direct) montre que <math>p_2=\sigma_1^2-2\sigma_2</math>. Ici <math>\sigma_1=0</math> et <math>\sigma_2=2</math>, donc <math>p_2<0</math>. Les <math>x_i</math> ne peuvent donc pas être tous réels.
#<math>P(-1)=19>0</math> et <math>P(0)=-2<0</math> donc <math>P</math> a une racine réelle au moins entre <math>-\infty</math> et <math>-1</math>, une entre <math>-1</math> et <math>0</math>, et une entre <math>0</math> et <math>+\infty</math>. Mais <math>P</math> a au moins une racine complexe non réelle d'après la question précédente, et même deux puisque le conjugué d'une racine est aussi racine. Donc <math>P</math> a exactement trois racines réelles.
}}
Montrer que le polynôme <math>P(X)=3X^{2007}+33X^{2003}+99X^7+363X+165</math> :
#n'est pas irréductible sur <math>\Z</math> mais l'est sur <math>\Q</math> ;
#a exactement une racine réelle et que celle-ci est un irrationnel négatif.
{{Solution|contenu=
#<math>P=3Q</math>, avec <math>Q\in\Z[X]</math> irréductible sur <math>\Q</math> d'après le critère d'Eisenstein, donc <math>P</math> aussi.
#Sur <math>\R</math>, la fonction polynomiale <math>P</math> est de dérivée > 0 donc elle est strictement croissante et s'annule exactement une fois. Cette racine est négative car <math>P(0)>0</math>, et irrationnelle d'après la question précédente.
}}
 
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