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15) Ces singularités ont permis à R. Franquart de « tisser complètement », comme Fermat, l’explication, la démonstration.<br>
16) Le 29 août 1654, Fermat écrit à Pascal : ''« Nos pensées s’ajustent si exactement […] vos derniers traités du Triangle arithmétique et de son application en sont une preuve authentique […]. »'' Or la thèse qu'a développée Roland Franquart et nous-même après lui est précisément axée sur le triangle arithmétique.<br>
17) Fermat a interverti les lettres '''''v''''' et '''''u''''' dans les 2 mots “'''''v'''ltra”'' et “''di'''''u'''''idere”, or'' <u>ces deux mots n'existent pas.</u> Ce n'est que jusqu'au XV<sup>e</sup> siècle que le ''u'' s'écrivait ''v –'' mais l'inverse'', cev → u'' n'était pas possible''.'' Cette quiinversion conforte encore l'importance d'un argument exposé dans la partie III : tout d'abord accorder beaucoup d'importance à ces deux lettres dans le cryptage de l'entièreté de la note, ensuite même si l'on comprend aisément que le pseudo-mot “''di'''''u'''''idere”'' correspond au mot ''dividere —'' et ici je reprends les mots de R. Fanquart '': « Fermat montre que les lettres '''u''' et '''v''' peuvent se remplacer mutuellement dans n’importe quel mot de l’ARITHMETICA, sauf dans le premier mot, '''l’<sup>EXPOSANT</sup>''' ».''<br>
18) De sa démonstration complète du ''théorème de Fermat sur les triangles rectangles'' (Obs. XLV) on déduit immédiatement la preuve du cas particulier ''n=4'' mais Fermat le passe sous silence. Nous écrivions en conclusion ce qu'il fallait en comprendre : il sait de quoi il parle et, très discrètement, si l'on veut bien lire “entre les lignes”, il nous le fait savoir.