« Polynôme/Exercices/Polynômes à coefficients entiers » : différence entre les versions

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→‎Exercice 4-5 : +1 question
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#Le polynôme <math>R=2X^4+6X^3+18X+48</math> est-il irréductible sur <math>\Z</math> ? sur <math>\Q</math> ? sur <math>\R</math> ?
#Montrer que le polynôme <math>S=2X^3Y^2+3X^2Y^3+X^4+8XY+6Y^2+Y</math> est irréductible dans <math>\Z[X,Y]</math>.
#Montrer que le polynôme <math>T=X^4+2X^3Y^2+3X^2Y^3+8XY+Y+6Y^2</math> est irréductible dans <math>\Z[X,Y]</math>.
{{Solution|contenu=
Aucun de ces polynômes n'est irréductible sur <math>\R</math> puisqu'ils sont de degré <math>>2</math>.
#<math>R=2(X^4+3X^3+9X+24)</math> n'est pas irréductible sur <math>\Z</math>. D'après le critère d'Eisenstein avec <math>p=3</math>, il est irréductible sur <math>\Q</math>.
#Regardons S comme un polynôme en <math>X</math> à coefficient dans l'{{w|anneau factoriel}} <math>\Z[Y]</math>. D'après le critère d'Eisenstein généralisé avec <math>p=Y</math>, S est irréductible sur <math>\Q(Y)</math>, donc sur <math>\Z[Y]</math> puisqu'il est unitaire donc primitif.
#Idem avec <math>p=Y</math>.
}}
 
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