« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions

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Le concept, ou prédicat, qui a posé problème pour l’axiome de Frege est celui des ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes, (x est un ensemble et x n’est pas dans x).
 
En général les ensembles n’appartiennent pas à eux-mêmes. Un ensemble de nombres n’est pas lui-même un nombre, un ensemble de personnes n’est pas une personne, ... Les éléments existent en un sens avant l’ensemble. L’ensemble ne fait que réunir des éléments préexistants. Mais on peut trouver des exceptions, l’ensemble de tous les ensembles, par exemple, peut être considéré comme un ensemble, il est donc élément de lui-même.
 
D’après l’axiome de Frege, il devrait exister un ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. Cet ensemble contiendrait la plupart des ensembles usuels mais il ne contiendrait pas l’ensemble de tous les ensembles ni quelques autres un peu bizarres. Cet ensemble, appelons le BR, est il élément de lui-même ?
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Tant que le domaine d’une fonction est un ensemble, l’ontologie des fonctions peut être réduite à celle des ensembles. Mais ce n’est pas toujours le cas. De telles fonctions, ou superfonctions, dont le domaine n’est pas un ensemble, sont utilisées dans toutes les théories des ensembles, parce qu’elles sont indispensables, mais elles ne sont pas considérées comme des fonctions ni vraiment comme des êtres mathématiques, mais seulement comme des auxiliaires du raisonnement, parce que l’ontologie strictement ensembliste interdit de leur donner l’existence. Telles sont par exemple, les fonctions de réunion et d’intersection d’ensembles.
 
Quand on adopte une démarche ontologique progressive, les fonctions sont parfois plus fondamentales que les ensembles. Il n’y a aucune difficulté à considérer “Singleton de...”de…” comme une fonction. En revanche, il y a beaucoup de difficultés à considérer son domaine comme un ensemble. Dans certaines théories, on veut que tous les êtres soient définis à partir d’objets déjà définis. Comme les fonctions jouent un rôle de premier plan dans la construction, ou définition, des ensembles, leur existence est établie de façon prioritaire.
 
== La théorie cantorienne des nombres infinis ==