« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions

→‎Exercice 7-5 : +1 : (x_n) converge ssi \lim_{m,n\to\infty}\langle x_m,x_n\rangle existe
(→‎Exercice 7-5 : +1 : (x_n) converge ssi \lim_{m,n\to\infty}\langle x_m,x_n\rangle existe)
 
#Corollaire des deux questions précédentes et du fait que pour tout <math>x\in\ker(\mathrm{id}-T)</math>, <math>T_n(x)=x</math>.
#Il suffit d'appliquer ce qui précède à l'opérateur <math>T</math> sur <math>H</math> défini par <math>Tf(x)=f(x+\alpha)</math>, de norme <math>1</math> et tel que <math>\ker(\mathrm{id}-T)</math> est réduit aux fonctions constantes (par [[Série de Fourier|analyse de Fourier]]).
}}
 
==Exercice 7-6==
Soit <math>H</math> un espace de Hilbert. Montrer qu'une suite <math>(x_n)</math> converge dans <math>H</math> si et seulement si <math>\lim_{m,n\to\infty}\langle x_m,x_n\rangle</math> existe.
{{Solution|contenu=
Si <math>\lim_{m,n\to\infty}\langle x_m,x_n\rangle=\ell</math> alors <math>\|x_m-x_n\|^2\to\ell-2\ell+\ell=0</math> donc la suite <math>(x_n)</math> est de Cauchy donc convergente dans <math>H</math>.
 
Réciproquement si <math>x_n\to x</math> dans <math>H</math>, <math>\langle x_n,x\rangle\to\|x\|^2</math> (car la différence est majorée en valeur absolue par <math>\|x\|\|x_n-x\|</math>), et de même <math>\langle x_m-x,x_n-x\rangle\to0</math>, d'où <math>\lim_{m,n\to\infty}\langle x_m,x_n\rangle=\lim_{m,n\to\infty}\left(\langle x,x_n\rangle+\langle x_m,x\rangle-\|x\|^2\right)=\|x\|^2</math>.
}}
 
13 026

modifications