« Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers » : différence entre les versions

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== Exercice 5-2 ==
Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux vecteurs ded'un espace préhilbertien <math>E</math>. On pose <math>\varphi(x)=\frac{\langle x|\mid a\rangle\langle x|\mid b\rangle}{\|x\|^2}</math>.
 
Déterminer les bornes inférieure et supérieure de <math>\varphi</math> sur <math>E\setminus\{0\}</math>.
{{Solution|contenu=
Fixons une base orthonormée d'un plan contenant <math>a</math> et <math>b</math>. La matrice dans cette base de la forme quadratique <math>x\mapsto\langle x|\mid a\rangle\langle x|\mid b\rangle</math> (restreinte au plan) est diagonalisable dans une base orthonormée et ses deux valeurs propres sont (tous calculs faits) : <math>\frac{\langle a|\mid b\rangle\pm\|a\|\|b\|}2</math>. Ce sont donc les valeurs minimum et maximum (atteintes) de la forme quadratique sur le cercle unité du plan, ou encore, de <math>\varphi</math> sur <math>E\setminus\{0\}</math>.
}}
Soient <math>E</math> un espace préhilbertien de dimension <math>>1</math>, <math>a</math> un vecteur unitaire de <math>E</math>, <math>k\in\R</math> et <math>q:E\to\R</math> définie par <math>q(x)=2\langle x\mid a\rangle^2+k\|x\|^2</math>.
 
Démontrer que <math>q</math> est une forme quadratique sur <math>E</math>. Pour quels <math>k</math> est-elle définie positive ?
{{Solution|contenu=
<math>q</math> est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique <math>\varphi (x,y)=2\langle x\mid a\rangle\langle y\mid a\rangle+k\langle x\mid y\rangle</math>.
 
Pour tout <math>x\ne0</math>, <math>q(x)/\|x\|^2=k+2\langle x\mid a\rangle^2/\|x\|^2\in[k,k+2]</math> par Cauchy-Schwarz, et ces bornes sont atteintes (respectivement pour <math>x</math> orthogonal à <math>a</math> et pour <math>x</math> colinéaire à <math>a</math>). Donc <math>q</math> est définie positive si et seulement si <math>k>0</math>.
}}