« Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers » : différence entre les versions

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Déterminer les bornes inférieure et supérieure de <math>\varphi</math> sur <math>E\setminus\{0\}</math>.
{{Solution|contenu={{Wikipédia|Quotient de Rayleigh}}
Fixons une base orthonormée d'un plan contenant <math>a</math> et <math>b</math>. La matrice dans cette base de la forme quadratique <math>x\mapsto\langle x\mid a\rangle\langle x\mid b\rangle</math> (restreinte au plan) est diagonalisable dans une base orthonormée et ses deux valeurs propres sont (tous calculs faits) : <math>\frac{\langle a\mid b\rangle\pm\|a\|\|b\|}2</math> (avec comme vecteurs propres <math>\frac a{\|a\|}\pm\frac b{\|b\|}</math>). Ce sont donc les valeurs minimum et maximum (atteintes) de la forme quadratique sur le cercle unité du plan, ou encore, de <math>\varphi</math> sur <math>E\setminus\{0\}</math>.
 
Remarque : c'est un cas particulier d'orthogonalisation simultanée, cf. [[Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale#Exercice 6-9]].