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Ligne 163 :
==Exercice 2-10==
Soit <math>
#Montrer que l'application <math>
#:<math>\left(e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},e_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},e_4=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right)</math>.
#Montrer que <math>A\in\ker f</math>. Sans calcul, donner une autre matrice de <math>\ker f</math>, non proportionnelle à <math>A</math>.
#
#
{{Solution|contenu=
#<math>
#(On pourrait aussi exploiter la question 2 et/ou le théorème du rang, pour répondre plus facilement à la 3.)
▲#<math>\varphi(A)=A^2-A^2=0</math> et <math>\varphi(\mathrm I_2)=A-A=0</math>.
#*<math>\ker
#**si <math>c\ne0</math> : <math>y=bz/c,t=x+(d-a)z/c</math>,
#**si <math>b\ne0</math> : <math>z=cy/b,t=x+(d-a)y/b=0</math>,
#**si <math>d\ne a</math> : <math>y=b(x-t)/(a-d),z=c(x-t)/(a-d)</math>.
#*<math>\mathrm{im} f= \mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2),f(e_3))</math> (car <math>f(e_4)=-f(e_1)</math>, or <math>(a-d)f(e_1)+bf(e_2)+cf(e_3)=f(M)=0</math>, donc <math>\mathrm{im}f=</math>
#**si <math>c\ne0</math> : <math>\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2))</math>,
#**si <math>b\ne0</math> : <math>\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_3))</math>,
#**si <math>d\ne a</math> : <math>\mathrm{Vect}(f(e_2),f(e_3))</math>.<br>Dans les trois cas, on trouve que <math>\mathrm{im}f</math> est le plan d'équations <math>t=-x,(a-d)x+cy+bz=0</math>.
#*<math>\mathrm{im}f\cap\ker f=</math> a pour équations
#**si <math>c\ne0</math> : <math>y=bz/c,-t=x=(a-d)z/(2c),z[(a-d)^2+4bc]=0</math>,
#**si <math>b\ne0</math> : <math>z=cy/b,-t=x=(a-d)y/(2b),y[(a-d)^2+4bc]=0</math>,
#**si <math>d\ne a</math> : <math>y=2bx/(a-d),z=2cx/(a-d),t=-x,x[(a-d)^2+4bc]=0</math>.<br>Dans les trois cas, on en déduit que les plans <math>\mathrm{im}f</math> et <math>\ker f</math> sont d'intersection nulle, donc supplémentaires dans <math>\mathrm M_2(\R)</math>.
#<math>\mathrm{Tr}(f(M))=\mathrm{Tr}(AM)-\mathrm{Tr}(MA)=0</math> (on peut aussi utiliser la première équation <math>t=-x</math> de <math>\mathrm{im}f</math>).
}}
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