« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Exercice 2-10 : généralisé l'exo
Ligne 163 :
 
==Exercice 2-10==
Soit <math>AM=\begin{pmatrix}1a&2b\\0c&1d\end{pmatrix}\in\mathrm M_2(\R)</math> une matrice non {{w|Matrice scalaire|scalaire}}.
#Montrer que l'application <math>\varphif:\mathrm M_2(\R)\to\mathrm M_2(\R),\;MA\mapsto AM-MA</math> est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique
#:<math>\left(e_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},e_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},e_3=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},e_4=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right)</math>.
#Montrer que <math>A\in\ker f</math>. Sans calcul, donner une autre matrice de <math>\ker f</math>, non proportionnelle à <math>A</math>.
#Déterminer la dimension de <math>\operatorname{im}\varphi</math>.
#Montrer queChercher <math>A\in\ker f,\varphimathrm{im}f</math>. Sans calcul, donneret unemontrer autreque matrice desi <math>(a-d)^2+4bc\ker\varphine0</math>, non proportionnelle àalors <math>A\mathrm M_2(\R)=\ker f\oplus\mathrm{im} f</math>.
#MontrerQue que ces deux matrices engendrentvaut <math>\ker\varphimathrm{Tr}(f(A))</math>. ?
{{Solution|contenu=
#<math>\varphif\begin{pmatrix}ax&by\\cz&dt\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a(x-t)(be_2-ce_3)+2c&by(c(e_1-e_4)+2d\\c&(d\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a&2a)e_2)+z(b\\c&2c(e_4-e_1)+(a-d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2c&2d-2a\\0&-2c\end{pmatrix})e_3)</math> <br>donc <math>\varphif</math> est linéaire<br> et sa matrice dans la base canonique<math>e</math> est <math>\begin{pmatrix}0&0c&2-b&0\\b&d-2a&0&0&2-b\\0-c&0&0a-d&0c\\0&0&-2c&b&0\end{pmatrix}</math>.
#<math>\varphif(A)=A^2-A^2=0</math> et <math>\varphif(\mathrm I_2)=A-A=0</math>.
#<math>\operatorname{im}\varphi=\operatorname{Vect}(e_2,e_1-e_4)</math> est de dimension 2.
#(On pourrait aussi exploiter la question 2 et/ou le théorème du rang, pour répondre plus facilement à la 3.)
#<math>\varphi(A)=A^2-A^2=0</math> et <math>\varphi(\mathrm I_2)=A-A=0</math>.
#*<math>\ker\varphi</math> est de dimension <math>f=\dim{\mathrm M_2(begin{pmatrix}x&y\R)-\dimz&t\operatornameend{impmatrix}\varphimid cy-bz=20,b(x-t)+(d-a)y=0,c(x-t)+(d-a)z=0\}</math>., Commeor <math>(A,\mathrm I_2a-d)[cy-bz]+c[b(x-t)+(d-a)y]-b[c(x-t)+(d-a)z]=0</math> est libre, c'est donc une base de <math>\ker\varphi f=</math>. le plan d'équations
#**si <math>c\ne0</math> : <math>y=bz/c,t=x+(d-a)z/c</math>,
#**si <math>b\ne0</math> : <math>z=cy/b,t=x+(d-a)y/b=0</math>,
#**si <math>d\ne a</math> : <math>y=b(x-t)/(a-d),z=c(x-t)/(a-d)</math>.
#*<math>\mathrm{im} f= \mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2),f(e_3))</math> (car <math>f(e_4)=-f(e_1)</math>, or <math>(a-d)f(e_1)+bf(e_2)+cf(e_3)=f(M)=0</math>, donc <math>\mathrm{im}f=</math>
#**si <math>c\ne0</math> : <math>\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_2))</math>,
#**si <math>b\ne0</math> : <math>\mathrm{Vect}(f(e_1),f(e_3))</math>,
#**si <math>d\ne a</math> : <math>\mathrm{Vect}(f(e_2),f(e_3))</math>.<br>Dans les trois cas, on trouve que <math>\mathrm{im}f</math> est le plan d'équations <math>t=-x,(a-d)x+cy+bz=0</math>.
#*<math>\mathrm{im}f\cap\ker f=</math> a pour équations
#**si <math>c\ne0</math> : <math>y=bz/c,-t=x=(a-d)z/(2c),z[(a-d)^2+4bc]=0</math>,
#**si <math>b\ne0</math> : <math>z=cy/b,-t=x=(a-d)y/(2b),y[(a-d)^2+4bc]=0</math>,
#**si <math>d\ne a</math> : <math>y=2bx/(a-d),z=2cx/(a-d),t=-x,x[(a-d)^2+4bc]=0</math>.<br>Dans les trois cas, on en déduit que les plans <math>\mathrm{im}f</math> et <math>\ker f</math> sont d'intersection nulle, donc supplémentaires dans <math>\mathrm M_2(\R)</math>.
#<math>\mathrm{Tr}(f(M))=\mathrm{Tr}(AM)-\mathrm{Tr}(MA)=0</math> (on peut aussi utiliser la première équation <math>t=-x</math> de <math>\mathrm{im}f</math>).
}}