« Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard » : différence entre les versions
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#Démontrer le lemme à partir de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 1 : Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique|inégalité arithmético-géométrique]].
#En déduire le théorème, sous sa seconde forme (on posera <math>D=\operatorname{diag}\left(\sqrt{a_{1,1}},\dots,\sqrt{a_{n,n}}\right)</math> et <math>B=DAD</math>).
#Montrer que la seconde forme du théorème équivaut à la première.
{{Corrigé|contenu=
#Soit <math>B\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> symétrique positive. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux valeurs propres <math>x_1,\ldots,x_n>0</math> de <math>B</math>, on obtient <math>\det B\le\left(\frac1n\operatorname{tr}B\right)^n</math>, avec égalité si et seulement <math>
#Soit <math>A=(a_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> symétrique positive. Remarquons d'abord que les <math>a_{i,i}=e_i^tAe_i</math> sont <math>>0</math>, donc la matrice <math>D=\operatorname{diag}\left(\sqrt{a_{1,1}},\dots,\sqrt{a_{n,n}}\right)</math> est bien définie et inversible, et la matrice <math>B=DAD=\left(\frac{a_{i,j}}\sqrt{a_{i,i}a_{j,j}}\right)</math> est alors, elle aussi, symétrique définie positive car pour toute matrice colonne <math>X\ne0</math>, <math>X^tBX=(DX)^tA(DX)>0</math>. De plus, ses éléments diagonaux sont égaux à <math>1</math>. En lui appliquant le lemme, on obtient donc <math>\frac{\det A}{a_{1,1}\dots a_{n,n}}\le1</math>, avec égalité si et seulement si <math>B=\mathrm I_n</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>A</math> est diagonale.
#Une matrice <math>A=(a_{i,j})\in\mathrm M_n(\R)</math> est symétrique définie positive si et seulement si elle est de la forme <math>A=C^*C</math> avec <math>C=(c_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\C)</math>, et l'on a alors <math>a_{j,j}=\sum_i|c_{i,j}|^2</math> et <math>\det A=|\det C|^2</math>.
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