« Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard » : différence entre les versions
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m À ne pas confondre avec l'inégalité de Hermite-Hadamard. |
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L'objet principal de ce devoir est de démontrer le théorème suivant, publié par {{w|Jacques Hadamard}} en 1893<ref>{{Ouvrage|langue originale=en|auteur=[[w:en:Vladimir Mazya|Vladimir Maz'ya]]|prénom2=Tatiana|nom2=Chapochnikova|lien auteur2=Tatiana Chapochnikova|titre=Jacques Hadamard, un mathématicien universel|éditeur={{w|EDP Sciences}}|année=2005|lire en ligne={{Google Livres|Nj_g6o53UZwC|page=57}}|
{{Théorème|contenu=
:Pour toute matrice <math>C=(c_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\
::<math>|\det C|\le\prod_{j=1}^n\sqrt{\sum_{i=1}^n|c_{i,j}|^2}</math>,
:avec égalité si et seulement si les colonnes de <math>C</math> sont deux à deux orthogonales<ref name=Encyclomath>{{Lien web|lang=en|titre=Hadamard's theorem on determinants|site={{w|Encyclopædia of Mathematics}}|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hadamard_theorem#Hadamard.27s_theorem_on_determinants}}.</ref>{{,}}<ref name=Planches89-90>{{Ouvrage|prénom1=Éric|nom1=Billault|titre=Oraux corrigés et commentés de mathématiques [[w:Classe préparatoire physique et chimie|PC-PC*]]|éditeur={{w|Éditions Ellipses|Ellipses}}|année=2019|lire en ligne={{Google Livres|_h5EEAAAQBAJ|page=271}}|passage=271-282}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Functional Analysis|auteur={{w|Frigyes Riesz}}|prénom2=Béla|nom2=Sz.-Nagy|lien auteur2=Béla Szőkefalvi-Nagy|éditeur={{w|Dover Publications}}|date=1990|isbn=0-486-66289-6|passage=176|url=https://books.google.fr/books?id=JCfEAgAAQBAJ&pg=PA176}}.</ref>,
ou encore<ref name=Planche98>{{Harvsp|Billault|2019|p=297-303}}.</ref> :
:pour toute matrice <math>A=(a_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> [[Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices#Notations et rappels|symétrique positive]],
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{{Lemme|contenu=Soit <math>B\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> une matrice symétrique positive,
:<math>\det B\le\left(\frac1n\operatorname{tr}B\right)^n</math>,
avec égalité si et seulement si <math>B</math> est une [[Initiation aux matrices/Opérations entre matrices#Matrice scalaire|matrice scalaire]].
}}
#Démontrer le lemme à partir de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 1 : Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique|inégalité arithmético-géométrique]]<ref>Une autre preuve figure dans {{Ouvrage|lang=en|titre=Inequalities|auteur={{w|Edwin F. Beckenbach}}|prénom2=Richard |nom2=Bellman|lien auteur2=w:Richard Bellman|éditeur=Springer|date=1965|passage=63-64|url=https://books.google.fr/books?id=0hvsCAAAQBAJ&pg=PA63|passage=63}}.</ref>.
#En déduire le théorème, sous sa seconde forme (on posera <math>D=\operatorname{diag}\left(\sqrt{a_{1,1}},\dots,\sqrt{a_{n,n}}\right)</math> et <math>B=DAD</math>).
#Montrer que la seconde forme du théorème équivaut à la première.
#Soit <math>C=(c_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> telle que tous les <math>|c_{i,j}|</math> sont <math>\le1</math>. Montrer que <math>|\det C|\le n^{n/2}</math>, avec égalité si et seulement si <math>C</math> est une {{w|matrice de Hadamard}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Inequalities: A Journey into Linear Analysis
|url=https://books.google.fr/books?id=j7JYneuaCxQC&pg=PA233
|auteur=D. J. H. Garling
|éditeur={{w|Cambridge University Press}}|year=2007|passage=233}}.</ref>.
{{Corrigé|contenu={{Lien web|lang=en|url=https://planetmath.org/proofofhadamardsinequality|titre=Proof of Hadamard's inequality|site={{w|PlanetMath}}}}
#Soit <math>B\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> symétrique positive. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique aux valeurs propres <math>x_1,\ldots,x_n>0</math> de <math>B</math>, on obtient <math>\det B\le\left(\frac1n\operatorname{tr}B\right)^n</math>, avec égalité si et seulement <math>x_1=\dots=x_n</math>. Comme <math>B</math> est diagonalisable, elle est alors égale à <math>x_1\mathrm I_n</math>.
#Soit <math>A=(a_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\R)</math> symétrique positive. Remarquons d'abord que les <math>a_{i,i}=e_i^tAe_i</math> sont <math>>0</math>, donc la matrice <math>D=\operatorname{diag}\left(\sqrt{a_{1,1}},\dots,\sqrt{a_{n,n}}\right)</math> est bien définie et inversible, et la matrice <math>B=DAD=\left(\frac{a_{i,j}}\sqrt{a_{i,i}a_{j,j}}\right)</math> est alors, elle aussi, symétrique définie positive car pour toute matrice colonne <math>X\ne0</math>, <math>X^tBX=(DX)^tA(DX)>0</math>. De plus, ses éléments diagonaux sont égaux à <math>1</math>. En lui appliquant le lemme, on obtient donc <math>\frac{\det A}{a_{1,1}\dots a_{n,n}}\le1</math>, avec égalité si et seulement si <math>B=\mathrm I_n</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si <math>A</math> est diagonale.
#Une matrice <math>A=(a_{i,j})\in\mathrm M_n(\R)</math> est symétrique définie positive si et seulement si elle est de la forme <math>A=C^*C</math> avec <math>C=(c_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\
#Si <math>C=(c_{i,j})\in\mathrm{GL}_n(\C)</math> est telle que tous les <math>|c_{i,j}|</math> sont <math>\le M</math> alors, d'après le théorème de Hadamard, <math>|\det C|\le\left(\sqrt{nM^2}\right)^n=M^nn^{n/2}</math>, avec égalité si et seulement si les colonnes de <math>C</math> sont deux à deux orthogonales.
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==Notes et références==
{{Références}}
==Voir aussi==
*{{w|Déterminant de Gram}}
*[[w:en:Fischer's inequality|Inégalité de Fischer]]
*{{Article|lang=en|nom=Różański|prénom=Michał|nom2=Wituła|prénom2=Roman|nom3=Hetmaniok|prénom3=Edyta|titre=More subtle versions of the Hadamard inequality|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=532|pages=500-511|doi=10.1016/j.laa.2017.07.003|date=2017}}
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