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« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

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→‎Définitions fondamentales : Un ensemble est ouvert si et seulement s'il est voisinage de chacun de ses points.
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On montrera [[../Exercices/Espaces topologiques|en exercice]] qu'il est possible de définir une topologie avec la donnée des voisinages, si cette donnée vérifie les quatre propriétés ci-dessus et une cinquième, plus compliquée.
 
{{Proposition|contenu=
Un ensemble est ouvert si et seulement s'il est voisinage de chacun de ses points.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
⇒ étant immédiat, démontrons ⇐. On suppose qu'une partie ''U'' de ''X'' est voisinage de tous ses points. Notons alors ''W'' la réunion de tous les ouverts inclus dans ''U''.
 
Par construction, ''W'' est un ouvert inclus dans ''U''. Réciproquement, ''U'' est inclus dans ''W'' (donc ''U = W'', ouvert) car par hypothèse, tout point de ''U'' appartient à l'un des ouverts dont ''W'' est la réunion.
}}
 
 
{{Définition
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