« Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Dirichlet » : différence entre les versions

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+4e partie : estimation du reste, et applications
 
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#Cette intégrale est faussement impropre en <math>0</math> car <math>\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12</math>. En <math>+\infty</math>, elle est absolument convergente car <math>\int_1^{+\infty}\frac{|1-\cos x|}{x^2}\,\mathrm dx\le\int_1^{+\infty}\frac2{x^2}\,\mathrm dx<+\infty</math>.
#Pour <math>0<\varepsilon<A</math>,
#:<math>\begin{align}\int_{\varepsilon}^A\frac{\sin x}x\,\mathrm dx&=\left[\frac{1-\cos( x)}x\right]_\varepsilon^A+\int_\varepsilon^A\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx\\&=\frac{1-\cos A}A-\frac{1-\cos\varepsilon}\varepsilon+\int_\varepsilon^A\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx\\
&\;\xrightarrow[\varepsilon\to0^+,A\to+\infty]{}0-0+\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\,\mathrm dx.\end{align}</math>
#:Donc l'intégrale de Dirichlet est convergente (non absolument : cf. [[Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale#Exercice 1]]).
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#::<math>\int_0^{\frac\pi2+n\pi}\sin x\,\frac{\mathrm dx}x=\int_0^{\frac\pi2}\sin\big((2n+1)t\big)\,\frac{\mathrm dt}t\to\frac\pi2</math>
#:donc l'intégrale de Dirichlet converge et <math>\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\,\mathrm dx=\frac\pi2</math>.
}}
<div style="text-align: center;"><span style="font-size:20px;"> '''— Ⅳ —''' </span></div>
#Démontrer que quand <math>A\to+\infty</math>, <math>\int_A^{+\infty}\frac{\sin u}u\,\mathrm du=\frac{\cos A}A+O\left(\frac1{A^2}\right)</math>.
#En déduire que quand <math>a\to+\infty</math>, <math>\int_a^{+\infty}\left(\frac{\sin s}s\right)^2\,\mathrm ds\sim\frac1{2a}</math>.
#Retrouver ce résultat plus directement.
#Déduire de ce résultat la valeur de <math>\lim_{x\to0}\frac1x\int_0^x\sin^2\frac1t\,\mathrm dt</math>.
{{Solution|contenu=
#On effectue une double intégration par parties :
#:<math>\int_A^{+\infty}\frac{\sin u}u\,\mathrm du=\left[\frac{-\cos u}u\right]_A^{+\infty}-\int_A^{+\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,\mathrm du=\frac{\cos A}A
-\left[\frac{\sin u}{u^2}\right]_A^{+\infty}-2\int_A^{+\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,\mathrm du</math>.
#:<math>\left[\frac{\sin u}{u^2}\right]_A^{+\infty}=-\frac{\sin A}{A^2}=O\left(\frac1{A^2}\right)</math> et <math>\left|\int_A^{+\infty}\frac{\sin u}{u^3}\,\mathrm du\right|\le\int_A^{+\infty}\frac{\mathrm du}{u^3}=\frac2{A^2}</math>.
#<math>\int_a^{+\infty}\frac{\sin^2s}{s^2}\,\mathrm ds=\left[\frac{-\sin^2s}s\right]_a^{+\infty}+\int_a^{+\infty}\frac{\sin(2s)}s\,\mathrm ds=\frac{\sin^2a}a+\int_{2a}^{+\infty}\frac{\sin u}u\,\mathrm du=\frac{\sin^2a}a+\frac{\cos(2a)}{2a}+O\left(\frac1{a^2}\right)</math>, or <math>2\sin^2a+\cos(2a)=1</math>.
#<math>\int_a^{+\infty}\frac{\sin^2s}{s^2}\,\mathrm ds=\int_{2a}^{+\infty}\frac{1-\cos u}{u^2}\,\mathrm du=\frac1{2a}-\int_{2a}^{+\infty}\frac{\cos u}{u^2}\,\mathrm du=\frac1{2a}+O\left(\frac1{a^2}\right)</math>.
#Cette fonction est paire et quand <math>x\to0^+</math>, <math>a:=\frac1x\to+\infty</math> et <math>\frac1x\int_0^x\sin^2\frac1t\,\mathrm dt=a\int_a^{+\infty}\frac{\sin^2s}{s^2}\,\mathrm ds\to\frac12</math>.
}}