« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions

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m →‎Définitions : déf de "relativement compact"
→‎Premières propriétés : caractérisation de la compacité relative
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==Premières propriétés==
 
{{Proposition|titre=Proposition 1
|contenu =
Toute partie compacte d'un espace séparé est fermée.
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}}
 
{{Proposition|titre=Proposition 2
 
{{Proposition
|contenu =
Toute partie fermée d'un espace compact est compacte.
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}}
 
{{Corollaire
| contenu=
Dans un espace séparé, une partie est relativement compacte (si et) seulement si son adhérence est compacte.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
*Si : immédiat (et encore vrai dans un espace non séparé).
*Seulement si : dans un espace séparé ''X'', soit ''A'' une partie incluse dans un compact ''K''. Puisque (d'après la proposition 1) ''K'' est fermé dans ''X'', il contient l'adhérence de ''A''. Celle-ci est donc compacte d'après la proposition 2.
}}
 
{{Proposition|titre=Proposition 3
| contenu=
Dans un espace séparé :
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Soit <math>X</math> un espace topologique.
#Soient <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties quasi-compactes de <math>X</math> et <math>A</math> leur réunion.<br>Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> une famille d'ouverts de <math>X</math> dont la réunion contient <math>A</math>. Alors, pour tout <math>1\le k\le N</math>, <math>A_k\subset\cup_{i\in I}O_i</math> donc il existe une partie finie <math>J_k</math> de <math>I</math> telle que <math>A_k\subset\cup_{i\in J_k}O_i</math>.<br>L'ensemble <math>J:=\cup_{k=1}^NJ_k</math> est alors fini, et <math>A\subset\cup_{i\in J}O_i</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est quasi-compact.
#Supposons <math>X</math> séparé. Soient <math>\left(B_t\right)_{t\in T}</math> une famille non vide de parties compactes de <math>X</math>, <math>B:=\cap_{t\in T}B_t</math> et <math>t_0\in T</math>. Dans <math>X</math>, tous les <math>B_t</math> sont fermés (comme parties compactes d'unaprès la espaceproposition séparé1) donc <math>B</math> est fermé.<br>Or <math>B\subset B_{t_0}</math>. C'est donc un compact, comme(d'après partiela ferméeproposition d'un compact2).
}}