« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions

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{{Démonstration déroulante
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Soit <math>A</math> une partie compacte d'un espace séparé <math>X</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] que <math>X\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in X\setminus A</math>.
 
Puisque <math>X</math> est séparé, [[../Espace produit#Puissance n-ième d'un espace|sa diagonale <math>\Delta_X</math> est un fermé de <math>X\times X</math>]] donc dans le sous-espace <math>X\times A</math>, la trace de cette diagonale, <math>\Delta_X\cap(X\times A)=\Delta_A</math>, est fermée, et son complémentaire <math>O:=(X\times A)\setminus\Delta_A</math> est un ouvert. Or <math>O</math> contient <math>\{x\}\times A</math> (car <math>x\notin A</math>) donc d'après le [[../Exercices/Compacité#Exercice 3|lemme du tube]], il existe dans <math>X</math> un ouvert <math>V</math> contenant <math>x</math> et tel que <math>V\times A\subset O</math>, c.-à-d. tel que <math>V\subset X\setminus A</math>.
Pour tout <math>y\in A</math>, il existe deux ouverts de <math>X</math> disjoints, <math>U_y</math> contenant <math>y</math> et <math>V_y</math> contenant <math>x</math>.
 
Ainsi,Ceci achève de montrer que <math>(U_y)_{yX\insetminus A}</math> est un recouvrement ouvertvoisinage de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(U_y)_{y\in J}x</math>.
 
On a alors <math>x\in V:=\cap_{y\in J}V_y</math> qui est un ouvert car <math>J</math> est fini.
 
De plus, <math>V</math> est disjoint de l'ouvert <math>U:=\cup_{y\in J}U_y</math>. On en déduit que <math>V\subset X\setminus A</math> car <math>A\subset U</math>.
 
Ceci termine de montrer que <math>X\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
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