« Topologie générale/Compacité » : différence entre les versions
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→Premières propriétés : caractérisation de la compacité relative |
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{{Démonstration déroulante
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie compacte d'un espace séparé <math>X</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] que <math>X\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in X\setminus A</math>.
Puisque <math>X</math> est séparé, [[../Espace produit#Puissance n-ième d'un espace|sa diagonale <math>\Delta_X</math> est un fermé de <math>X\times X</math>]] donc dans le sous-espace <math>X\times A</math>, la trace de cette diagonale, <math>\Delta_X\cap(X\times A)=\Delta_A</math>, est fermée, et son complémentaire <math>O:=(X\times A)\setminus\Delta_A</math> est un ouvert. Or <math>O</math> contient <math>\{x\}\times A</math> (car <math>x\notin A</math>) donc d'après le [[../Exercices/Compacité#Exercice 3|lemme du tube]], il existe dans <math>X</math> un ouvert <math>V</math> contenant <math>x</math> et tel que <math>V\times A\subset O</math>, c.-à-d. tel que <math>V\subset X\setminus A</math>.
}}
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