« Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé » : différence entre les versions

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On a <math>a=18a'^2</math> et <math>a'=18a^2</math> (avec <math>aa'\ne0</math>) si et seulement si <math>a=\frac\omega{18}</math> et <math>a=\frac{\omega^2}{18}</math> avec <math>\omega\in\{1,\mathrm j,\mathrm j^2\}</math>. Le reste du système équivaut alors, de proche en proche, à : <math>b'=\omega b, c=6\omega^2b^2, c'=6b^2, d=12\omega b^3, d'=12\omega^2b^3</math>, d'où <math>A=\frac\omega{18}X^3+bX^2+6\omega^2b^2X+12\omega b^3</math> et <math>B=\frac{\omega^2}{18}X^3+\omega bX^2+6b^2X+12\omega^2b^3</math>.
}}
 
==Exercice 2-3==
Montrer qu'il n'est pas possible que <math>\operatorname e^x={P(x)\over Q(x)}</math> sur un intervalle réel ouvert non vide, où <math>P</math> et <math>Q</math> sont deux polynômes.
{{Solution|contenu=
<math>P=\operatorname e^xQ\Rightarrow
QP'=Q\operatorname e^x(Q+Q')=P(Q+Q')\Rightarrow PQ=QP'-PQ'</math>. Si <math>P,Q</math> sont non nuls, de degrés <math>p,q</math>, ceci donne <math>p+q\le p+q-1</math> : absurde.
}}