« Polynôme/Exercices/Polynôme dérivé » : différence entre les versions
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Ligne 31 :
<math>P=\operatorname e^xQ\Rightarrow
QP'=Q\operatorname e^x(Q+Q')=P(Q+Q')\Rightarrow PQ=QP'-PQ'</math>. Si <math>P,Q</math> sont non nuls, de degrés <math>p,q</math>, ceci donne <math>p+q\le p+q-1</math> : absurde.
}}
==Exercice 2-4==
Soit <math>P\in\C[X]</math>.
#Montrer que s'il existe <math>S\in\C[X]</math> tel que <math>P=S^2</math> alors <math>P</math> divise <math>P'^2</math>.
#Si <math>\deg P=4</math>, démontrer la réciproque.
{{Solution|contenu=
#<math>P=S^2\Rightarrow P'=2SS'\Rightarrow P'^2=4S^2S'^2=P\times 4S'^2</math>.
#Si <math>P\mid P'^2</math>, toute racine de <math>P</math> est au moins double. Il y en a <math>4</math> au total, donc deux doubles ou une quadruple. Dans les deux cas, <math>P=S^2</math>.
}}
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