« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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{{Solution|contenu=
<math>\forall z\in\C\quad z^4=-16=16\mathrm e^{\mathrm i\pi }\Leftrightarrow z\in\{z_0,z_1,z_2,z_3\}</math> avec <math>z_k=2\mathrm e^{\mathrm i((\pi/4)+(k\pi/2))}</math> [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>z_0=2\mathrm e^{\mathrm i\pi /4}</math>, <math>z_1=\mathrm iz_0</math>, <math>z_2=-z_0=\overline{z_1}</math>, <math>z_3=-\mathrm iz_0=\overline{z_0}</math>, donc <math>X^4+16=P_0P_1</math> avec <math>P_k=(X-z_k)(X-\overline{z_k})=X^2-2\mathrm{Re}(z_k)X+|z_k|^2=X^2-4\cos(\pi/4+k\pi/2)+4</math>, c.-à-d. <math>P_0=X^2-2\sqrt2X+4</math> et <math>P_1=X^2+2\sqrt2X+4</math>.
}}
==Exercice 1-16==
Soit <math>P\in\R[X]</math> de degré <math>n</math>, admettant <math>n</math> zéros réels distincts. Montrer que <math>P+XP'</math> a la même propriété.
{{Solution|contenu=
On remarque que <math>P+XP'=(XP)'</math>.
*Si les <math>n</math> zéros de <math>P</math> sont <math>\ne0</math>, <math>XP</math> admet <math>n+1</math> zéros simples réels distincts <math>x_0<\dots<x_n</math> donc sa dérivée s'annule en <math>n</math> réels <math>y_1,\dots,y_n</math> tels que <math>x_0<y_1<x_1< \dots<y_n<x_n</math>.
*Si au contraire l'un des zéros de <math>P</math> est <math>0</math>, les zéros de <math>XP</math> sont <math>x_1<\dots<x_{i-1}<x_i=0<x_{i+1}<\dots<x_n</math> avec <math>x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_n</math> zéros simples et <math>x_i</math> zéro double, donc sa dérivée s'annule en <math>y_1,\dots,y_n</math> avec
<math>x_1<y_1<x_2<\dots<x_{i-1}<y_{i-1}<x_i=y_i=0<y_{i+1}<x_{i+1}<\dots<y_n<x_n</math>.
Dans les deux cas, comme <math>(XP)'</math> est de degré <math>n</math>, ces <math>n</math> racines sont simples.
}}
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