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== Exercice 2-1 ==
Soient <math>a,b,u\in\operatorname L(E,F)</math> et <math>v\in\operatorname L(F,GE)</math>.
#Montrer que :
 
Vérifier que ##<math>vau+bv=\circmathrm{id}_E\Rightarrow uE=0</math> si et seulement si <math>\operatorname{im}u\subseta+\operatorname{Kerim}vb</math>. ;
##<math>ua+bv=\mathrm{id}_E\Rightarrow\ker a\subset\operatorname{im}b</math> ;
 
##<math>ua+vb=\mathrm{id}_E\Rightarrow\ker a\cap\ker b=\{0\}</math> ;
##<math>ab=0\Leftrightarrow\operatorname{im}b\subset\ker a</math>.
#La question 1.4 se généralise facilement au cas où <math>b\in\operatorname L(E,F)</math> et <math>a\in\operatorname L(F,G)</math> (avec <math>E,F,G</math> trois ''K''-e.v. non nécessairement égaux). Généraliser de même (sans démonstration) les questions 1.1, 1.2 et 1.3.
{{Solution|contenu=
#
<math>\begin{align}v\circ u=0&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad v\left(u(x)\right)=0\\&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad u(x)\in\ker v\\&\Leftrightarrow\forall y\in\operatorname{im}u\quad y\in\ker v.\end{align}</math>
##<math>au+bv=\mathrm{id}_E\Rightarrow\forall x\in E\quad x=a(u(x))+b(v(x))\in\operatorname{im}a+\operatorname{im}b</math>.
##<math>ua+bv=\mathrm{id}_E\Rightarrow\forall x\in\ker a\quad x=u(a(x))+b(v(x))=0+b(v(x))\in\operatorname{im}b</math>.
##<math>ua+vb=\mathrm{id}_E\Rightarrow\forall x\in\ker a\cap\ker b\quad x=u(a(x))+v(b(x))=u(0)+v(0)=0</math>.
##<math>\begin{align}v\circ uab=0&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad v\leftb(ua(x)\right)=0\\&\Leftrightarrow\forall x\in E\quad u(x)\in\ker v\\&\Leftrightarrow\forall y\in\operatorname{im}ub\quad a(y\in\ker v.\end{align})=0</math>.
#Les questions 1.1, 1.2 et 1.3 se généralisent respectivement au cas où :
##<math>u\in\operatorname L(E,F),a\in\operatorname L(F,E),v\in\operatorname L(E,G),b\in\operatorname L(G,E)</math> ;
##<math>a\in\operatorname L(E,F),u\in\operatorname L(F,E),v\in\operatorname L(E,G),b\in\operatorname L(G,E)</math> ;
##<math>a\in\operatorname L(E,F),u\in\operatorname L(F,E),b\in\operatorname L(E,G),v\in\operatorname L(G,E)</math>.
}}