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m →‎Exercice 5-2 : précision
 
Ligne 69 :
On a évidemment <math>N(f)>0</math> pour toute fonction <math>f\in E</math> non nulle, et <math>N(f)^2=B(f,f)</math>, où <math>B</math> est le produit scalaire défini par
:<math>\forall(f,g)\in E^2~~B(f,g)=f(0)g(0)+\int_0^1f'(t)g'(t)\,\mathrm dt</math>.
}}
 
== Exercice 5-5==
Soit <math>(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math> un espace vectoriel euclidien. Les [[similitude]]s de <math>E</math> sont les automorphismes de <math>E</math> qui conservent l'orthogonalité :
:<math>{\rm Sim}(E)=\{u\in\mathrm{GL}(E)\mid\forall x,y\in E, x\perp y \Rightarrow u(x)\perp u(y)\}</math>.
Elles forment un sous-groupe de <math>\mathrm{GL}(E)</math>. On considère par ailleurs le [[Théorie des groupes/Conjugaison, centralisateur, normalisateur#Normalisateur|normalisateur]] de <math>\mathrm O(E)</math> :
:<math>{\cal G}=\{u\in\mathrm{GL}(E)\mid\forall v\in\mathrm O(E)\quad uvu^{-1} \in\mathrm O(E)\}</math>.
#Montrer que <math>{\rm Sim}(E)</math> est inclus dans <math>\cal G</math> (on pourra utiliser, sans le redémontrer, le fait que, pour toute similitude <math>u</math>, il existe un unique couple <math>(\lambda,u_0)\in\R^{\times +}\times\mathrm O(E)</math> tel que <math>u=\lambda{\rm Id}_E\circ u_0</math>).
#On souhaite montrer l'inclusion réciproque. Soit <math>u\in\cal G</math> et <math>x,y</math> deux vecteurs orthogonaux de <math>E</math>.
##Montrer qu'il existe une symétrie orthogonale <math>s</math> telle que <math>s(x)=x</math> et <math>s(y)=-y</math>. Soient <math>F</math> et <math>G</math> les sous-espaces propres de <math>s</math> associés à <math>1</math> et <math>-1</math> respectivement (donc <math>x\in F</math> et <math>y\in G</math>).
##(Re)démontrer que <math>F\oplus G=E</math> et que <math>F\perp G</math>.
##Montrer que <math>s'=usu^{-1}</math> est d'une part une transformation orthogonale, d'autre part une symétrie. On notera <math>F'</math> et <math>G'</math> les sous-espaces propres de <math>s'</math> associés à <math>1</math> et <math>-1</math> respectivement. En déduire que <math>F'</math> et <math>G'</math> sont en somme directe et sont orthogonaux.
##Montrer que <math>u(F)\subset F'</math> et <math>u(G)\subset G'</math>.
##Conclure.
#D'après la question 2.4, <math>u</math> définit par restriction une application linéaire de <math>F</math> dans <math>F'</math> d'une part, une application linéaire de <math>G</math> dans <math>G'</math> d'autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.
{{Solution|contenu=
#Soit <math>u=\lambda u_0</math> avec <math>\lambda>0</math> et <math>u_0\in\mathrm O(E)</math>. Pour tout <math>v\in\mathrm O(E)</math> on a <math>uvu^{-1}=u_0vu_0^{-1}\in\mathrm O(E)</math>.
#
##Puisque <math>x\perp y</math>, il existe <math>F,G</math> supplémentaires orthogonaux tels que <math>x\in F</math> et <math>y\in G</math> (par exemple <math>F=</math> le s.e.v. engendré par <math>x</math> et <math>G=F^\perp</math>). La symétrie orthogonale par rapport à un tel <math>F</math> répond à la question.
##D'une part <math>s</math> est une symétrie, donc <math>s^2=\mathrm{id}</math>, donc le polynôme <math>X^2-1</math> annule <math>s</math>, donc <math>s</math> est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à <math>\{-1,1\}</math>, donc <math>F\oplus G=E</math>. D'autre part <math>s\in\mathrm O(E)</math> donc <math>\forall f\in F\quad\forall g\in G\quad\langle f,g\rangle=\langle s(f),s(g)\rangle=\langle f,-g\rangle=-\langle f,g\rangle</math> donc <math>\langle f,g\rangle=0</math>, donc <math>F\perp G</math>.
##D'une part <math>u\in\cal G</math> et <math>s\in\mathrm O(E)</math> donc (par définition de <math>\cal G</math>) <math>usu^{-1}\in\mathrm O(E)</math>. D'autre part <math>(usu^{-1})^2=us^2u^{-1}=uu^{-1}=\mathrm{id}</math> donc <math>usu^{-1}</math> est une symétrie. Donc <math>s'</math> est une symétrie orthogonale donc (cf. sous-question précédente) <math>F'</math> et <math>G'</math> sont supplémentaires orthogonaux.
##<math>\forall z\in E\quad s'(u(z))=u(s(z))</math>. En particulier <math>\forall f\in F\quad s'(u(f))=u(f)</math> donc <math>u(F)\subset F'</math> et <math>\forall g\in G\quad s'(u(g))=u(-g)=-u(g)</math> donc <math>u(G)\subset G'</math>.
##D'après la sous-question 4 précédente, <math>u(x)\in F'</math> et <math>u(y)\in G'</math> donc d'après la sous-question 3, <math>u(x)\perp u(y)</math>. On a donc prouvé (pour tout <math>u\in\cal G</math>) que si <math>x\perp y</math> alors <math>u(x)\perp u(y)</math>, c'est-à-dire que <math>u\in{\rm Sim}(E)</math>. Donc <math>{\cal G}\subset{\rm Sim}(E)</math>.
#Puisque <math>s'=usu^{-1}</math>, on a <math>s=u^{-1}s'u</math> donc (en remplaçant <math>u</math> par <math>u^{-1}</math> et échangeant les rôles de <math>s</math> et <math>s'</math> dans 2.4) <math>u^{-1}(F')\subset F</math>. La restriction de <math>u</math>, de <math>F</math> dans <math>F'</math>, est donc un isomorphisme (dont l'isomorphisme réciproque est la restriction de <math>u^{-1}</math>, de <math>F'</math> dans <math>F</math>). Idem en remplaçant <math>F,F'</math> par <math>G,G'</math>.
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