« Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition QR » : différence entre les versions
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ii) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales et à termes diagonaux <math>>0</math> ? En déduire (en améliorant b.iv) que tout endomorphisme orthogonal est produit d'un nombre <math>\le n</math> de réflexions.
{{Corrigé|contenu=
'''a) Méthode de Schmidt'''
i) <math>Q</math> est la matrice d'une b.o.n. <math>{\cal B}''</math> dans une b.o.n. <math>\cal B</math>.
ii) En notant <math>{\cal B}'=(u_1,\ldots,u_n)</math> et <math>{\cal B}''=(v_1,\ldots,v_n)</math>, <math>Vect(u_1,\ldots,u_k)</math> contient les vecteurs <math>v_1,\ldots,v_k</math> donc contient le sous-espace qu'ils engendrent, et est de même dimension, donc égal, en particulier
<math>u_k\in{\rm Vect}(v_1,\ldots,v_k)</math>, donc <math>R</math> est triangulaire supérieure.
iii) Pour tout <math>j</math>, <math>\sum_iA_{i,j}e_i=u_j=\sum_k R_{k,j}v_k=\sum_kR_{k,j}(\sum_i Q_{i,k}e_i)</math> donc pour tous <math>i,j</math>, <math>A_{i,j}=\sum_kQ_{i,k}R_{k,j}</math> donc <math>A=QR</math>.
'''b) Méthode de Householder'''
i) <math>x\mapsto{\langle v,x\rangle\over\|v\|^2}v</math> est la projection orthogonale sur <math>\R v</math> donc <math>s_v</math> est la réflexion d'hyperplan <math>v^\perp</math>.
ii) Si <math>H</math> est la matrice de <math>s_u</math> avec <math>u=(u_{k+1},\dots,u_n)</math> alors <math>\begin{pmatrix}{\rm I}&0\\0&H\end{pmatrix}</math> est la matrice de <math>s_v</math> avec <math>v=(0,\ldots,0,u_{k+1},\ldots,u_n)</math>.
iii) <math>\langle v,x\rangle=\|x\|^2+\alpha\langle e,x\rangle=\alpha^2+\alpha\langle e,x\rangle</math> et
<math>\|v\|^2=\|x\|^2+2\alpha\langle x,e\rangle+\alpha^2=2(\alpha^2+\alpha\langle e,x\rangle)</math> donc <math>2\langle v,x\rangle/\|v\|^2=1</math> donc
<math>s_v(x)=x-v=-\alpha e</math>. Soient <math>e</math> le premier vecteur de la base canonique de <math>\R^n</math> et <math>x</math> le premier vecteur colonne de <math>A</math> (non nul puisque <math>A</math> est inversible). Si <math>x=\|x\|e</math>, on choisit <math>\alpha=\|x\|</math> ; si <math>x=-\|x\|e</math>, on choisit <math>\alpha=-\|x\|</math> ; si <math>x</math> n'est pas colinéaire à <math>e</math> on choisit indifféremment <math>\alpha=\pm\|x\|</math>. De cette manière, on a toujours <math>v:=x+\alpha e\ne</math>, et en prenant pour <math>Q_1</math> la matrice de <math>s_v</math>, <math>Q_1A</math> a pour première colonne <math>s_v(x)=-\alpha e</math> donc est de la forme voulue.
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}}
==Notes==
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