« Système d'équations linéaires/Résolution par combinaison » : différence entre les versions
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Ligne 9 :
== Introduction ==
La seconde méthode élémentaire de résolution des systèmes d'équations linéaires est la méthode par
== Exemple ==
Ligne 16 :
Le prix <math>x</math> d'une baguette et le prix <math>y</math> d'un croissant sont solutions du système linéaire
'''<math>(\mathcal{S}) : \left\{\begin{array}{l} 3x + 5y = 7 \\ 2x + 10y = 10 \end{array}\right.</math>'''
Au bout de 2 jours, Pierre aura acheté 6 baguettes, 10 croissants, et aura payé 14 €.
Ligne 23 :
Ce qui permet d'écrire le système
'''<math>\left\{\begin{array}{l} 6x + 10y = 14 \\ 6x + 30y = 30\end{array}\right.</math>'''
Il s'agit donc du système '''<math>(\mathcal{S})</math>''' dans lequel on a '''multiplié la première ligne par 2 et la deuxième par 3'''.
Les deux amis ont donc acheté le même nombre de baguettes.
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul
'''<math>(6x+10y) - (6x+30y) = 14 - 30</math>'''<br />
'''<math>6x + 10y - 6x - 30y = -16</math>'''<br />
On remarque que les <math>x</math> s'éliminent :<br />
'''<math>-20y = -16</math>'''<br />
Et on obtient :<br />
'''<math>y = \cfrac{16}{20} = 0,8</math>'''<br />
Ouf, le croissant coûte toujours 0,8 €.
Ligne 43 :
Ce qui permet d'écrire le système
'''<math>\left\{\begin{array}{l} 6x + 10y = 14 \\ 2x + 10y = 10\end{array}\right.</math>'''
Il s'agit donc du système <math>(\mathcal{S})</math> dans lequel on a '''multiplié la première ligne par 2 et laissé inchangée la deuxième'''.
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul, on a :<br />
'''<math>(6x+10y) - (2x+10y) = 14 - 10</math>'''<br />
'''<math>6x + 10y - 2x - 10y = 4</math>'''<br />
On remarque que les <math>y</math> s'éliminent :<br />
<math>4x = 4</math><br />
Ligne 59 :
Pour cela on numérote les différentes lignes du système d'équations :
'''<math>(\mathcal{S}) : \left\{\begin{array}{ll} 3x + 5y = 7 & L1\\ 2x + 10y = 10 & L2 \end{array}\right.</math>'''
Puis on effectue l'opération '''<math>2\times L1 - 3\times L2</math>''', ce qui signifie qu'on '''multiplie la première équation par 2, la deuxième par 3 et qu'on soustrait les équations obtenues''' :
<math>
\begin{array}{ll}
Ligne 68 :
& -20y = -16
\end{array}</math>
Donc '''<math>y = \cfrac{16}{20} = 0,8</math>'''
On effectue ensuite l'opération '''<math>2\times L1 - L2</math>''' :
'''<math>
\begin{array}{ll}
- &
Ligne 77 :
\hline
& 4x = 4
\end{array}</math>'''
Donc <math>x = 1</math>
La solution du système est '''<math>(1;0,8)</math>'''.
Cette méthode est plus compliquée à bien maîtriser, mais elle permet des calculs bien souvent plus rapides, et évite l'emploi de nombreuses fractions
Ligne 93 :
Nous reprenons l'exemple du chapitre précédent, pour bien montrer que cette méthode est différente de la méthode par substitution :
'''<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 2x - 2y + 2z = 4 \\ x + y + z = 6 \end{cases} </math>'''
Nous soustrayons deux fois la première ligne à la seconde :
'''<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 0 - 12y + 4z = -12 \\ x + y + z = 6 \end{cases} </math>'''
Soustrayons une fois la première ligne à la troisième :
'''<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 0 - 12y + 4z = -12 \\ 0 - 4y + 2z = -2 \end{cases} </math>'''
Soustrayons deux fois la dernière ligne à la deuxième :
'''<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 0 - 4y + 0 = -8 \\ 0 - 4y + 2z = -2 \end{cases} </math>'''
On trouve, dans la deuxième ligne :
'''<math>y = 2</math>'''
Donc :
'''<math>\begin{cases} x + 10 - z = 8 \\ y = 2 \\ - 8 + 2z = -2 \end{cases} </math>'''
On trouve, dans la troisième ligne :
'''<math>z = 3</math>'''
Donc :
'''<math>\begin{cases} x + 10 - 3 = 8 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} </math>'''
La première ligne donne enfin :
'''<math>x = 1</math>'''
Finalement, nous avons complètement résolu le système :
'''<math>\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} </math>'''
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