« Initiation aux probabilités/Probabilité sur un univers » : différence entre les versions
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Comme les événements élémentaires sont des événements incompatibles, on peut appliquer la troisième règle :
'''<math>p(\Omega)=p(a_1)+p(a_2)+p(a_3)+\cdots+p(a_n)</math>'''
et comme d'après la règle deux, on a '''<math>p(\Omega)=1</math>''',
'''<math>p(a_1)+p(a_2)+p(a_3)+\cdots p(a_n)=1</math>'''▼
▲<math>p(a_1)+p(a_2)+p(a_3)+\cdots p(a_n)=1</math>
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| contenu = '''Deuxième conséquence'''
'''<math>p\left(\bar A\right)=1-p\left(A\right)</math>'''.
}}
En effet, les événements <math>A</math> et <math>\bar A</math> sont incompatibles et tels que :
'''<math>A\cup\bar A=\Omega</math>'''
et donc d'après la troisième règle :
'''<math>p(A)+p(\bar A)=p(A\cup\bar A)=p(\Omega)=1</math>'''
d'où l'on déduit :
'''<math>p\left(\bar A\right)=1-p\left(A\right)</math>'''.
Ligne 72 ⟶ 73 :
| contenu = '''Troisième conséquence'''
Soit '''<math>A</math>''' un événement quelconque de '''<math>\Omega</math>''', on a :
'''<math>0\leqslant p\left(A\right)\leqslant1</math>'''.
}}
En effet, la première inégalité '''<math>0\leqslant p\left(A\right)</math>''' découle directement de la première règle.
Dans la deuxième conséquence immédiate ci-dessus, nous avons vu que :
'''<math>p\left(\bar A\right)=1-p\left(A\right)</math>'''
mais comme '''<math>0\leqslant p\left(\bar A\right)</math>''' d'après la première règle, on en déduit :
'''<math>0\leqslant1-p\left(A\right)</math>'''
qui s'écrit aussi :
'''<math>p\left(A\right)\leqslant1</math>'''
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}}
En effet, si dans la formule :
'''<math>p\left(\bar A\right)=1-p\left(A\right)</math>'''.▼
on remplace '''<math>A</math>''' par '''<math>\Omega</math>''', on obtient :
▲<math>p\left(\bar A\right)=1-p\left(A\right)</math>.
et comme '''<math>\bar\Omega</math>''' est événement impossible '''<math>\varnothing</math>''', on obtient :▼
<math>p\left(\bar \Omega\right)=1-p\left(\Omega\right)</math>.▼
▲et comme <math>\bar\Omega</math> est événement impossible <math>\varnothing</math>, on obtient :
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