« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions
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mAucun résumé des modifications |
→Conclusion : finition |
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Ligne 66 :
==Conclusion==
:<math>u_n = a^nu_0 + b\sum_{i=0}^{n-1} a^i</math>
Remarquons alors que la somme de droite est une somme géométrique, que l'on sait donc calculer. Si ''a = 1'', alors on sait que :
:<math>\sum_{i=0}^{n-1} a = n \cdot a = n</math>
et, dans le cas contraire,
:<math>\sum_{i=0}^{n-1} a = \frac{1 - a^n}{1 - a}</math>
Pour conclure, la solution est comme suit :
:{{Théorème|titre=Suite récurrente linéaire d'ordre un|contenu=
Soit ''a'' et ''b'' deux réels. Les suites solutions de la relation de récurrence :
:<math>u_{n+1} = a u_n + b\,</math>
Sont les suites de la forme :
:<math>\begin{cases} n b + u_0 & \mathrm{si} \quad a = 1 \\ a^nu_0 + b\frac{1-a^n}{1-a} & \mathrm{si} \quad a \neq 1 \end{cases}</math>
où ''u<sub>0</sub>'' est un réel.
}}
L'étude de la convergence de ces suites, relativement facile à partir des expressions ci-dessus, est proposée en exercice.
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