« Utilisateur:RM77/DMs » : différence entre les versions
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m kel kon... |
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=== DM3, Exo 1 ===
#Montrer que, <math>(\forall (a,b)/ab<1) : \arctan{a} + \arctan{b} = \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}</math
#Que dire si <math>ab\ge 1\,</math> ?
Pour cela, on pourra, mais il y
:<math>x\mapsto \arctan{\left (\frac{a+x}{1-ax}\right )} - \arctan{x}</math>
==== Solution ====
# On a <math>ab\neq 1</math>, on pose ''b'' réel '''fixé'''.
On pose <math>f(a) = \arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}\,</math> . On dérive :<br>
<math>f'(a) = \frac{1}{1+a^2} + 0 - \left (\frac{\left (\frac{a+b}{1-ab}\right ) ^{'}}{1+\left (\frac{a+b}{1-ab}\right )^2} \right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left ( \frac{\frac{1-ab-(a+b)(-b)} {(1-ab)^2}}{\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2}{(1-ab}^2}\right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left (\frac{1+b^2}{(1-ab)^2+(a+b)^2}\right ) </math>
<math>=\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2-(1+b^2)(1+a^2)}{(1+a^2).\left ( (1-ab)^2+(a+b)^2\right )} = 0</math>
Donc <math>f'(a)=0 \Rightarrow f(a) = \mbox{cste} = f(0) = \arctan{b}-\arctan{b} = 0</math>
CQFD.
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