« Utilisateur:RM77/DMs » : différence entre les versions
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m Mieux comme ça |
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Ligne 9 :
==== Solution ====
# Soit ''b'' constante réelle.
On pose, pour tout réel a tel que <math>ab < 1</math>, <math>f(a) = \arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}\,</math> .
<math>f'(a) = \frac{1}{1+a^2} + 0 - \left (\frac{\left (\frac{a+b}{1-ab}\right ) ^{'}}{1+\left (\frac{a+b}{1-ab}\right )^2} \right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left ( \frac{\frac{1-ab-(a+b)(-b)} {(1-ab)^2}}{\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2}{(1-ab}^2}\right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left (\frac{1+b^2}{(1-ab)^2+(a+b)^2}\right ) </math>
<math>=\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2-(1+b^2)(1+a^2)}{(1+a^2).\left ( (1-ab)^2+(a+b)^2\right )} = 0</math>
Donc , pour tout a de l'intervalle, <math>f'(a)=0 \Rightarrow f(a) = \mbox{cste, donc} = f(0) = \arctan{b}-\arctan{b} = 0</math>
QED
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