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m hum |
compléments, coquillettes, réponse à la deuxième |
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Ligne 10 :
# Soit ''b'' constante réelle.
On pose, pour tout réel a tel que <math>ab < 1</math>, <math>f(a) = \arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}\,</math> . La fonction est continument dérivable sur l'intervalle (ouvert) défini par la condition sur le produit :<br>
<math>f'(a) = \frac{1}{1+a^2} + 0 - \left (\frac{\left (\frac{a+b}{1-ab}\right ) ^{'}}{1+\left (\frac{a+b}{1-ab}\right )^2} \right ) = \frac{1}{1+a^2} - \left ( \frac{\frac{1-ab-(a+b)(-b)} {(1-ab)^2}}{\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2}{(1-ab
<math>=\frac{(1-ab)^2+(a+b)^2-(1+b^2)(1+a^2)}{(1+a^2)
Le numérateur de cette fonction s'écrit encore :
:<math>(1-ab)^2+(a+b)^2-(1+b^2)(1+a^2) = 1 + a^2 b^2 - 2ab + a^2 + b^2 + 2ab - (1 + a^2 + b^2 + a^2 b^2) = 1-1 + a^2b^2 - a^2b^2 + 2ab - 2ab + a^2 - a^2 + b^2 - b^2 = 0</math>
On a alors : <math>\arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )} = 0 \Rightarrow \arctan{a} + \arctan{b} = \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}</math>▼
Donc, pour tout ''a'' dans l'intervalle, <math>f'(a)=0</math>, donc <math>f(a) = \mbox{cste}</math>. On détermine cette constante à partir d'une valeur connue, autrement dit :
:<math>f(a)= f(0) = \arctan{b}-\arctan{b} = 0</math>
▲On a alors : <math>\arctan{a} + \arctan{b} - \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )} = 0</math>
QED
# Lorsque ''ab'' = 1, la formule précédente diverge et n'est donc plus vraie. On a en revanche la célèbre égalité :
:<math>\arctan{a} + \arctan{\frac{1}{a}} = \frac{\pi}{2}</math> si ''a'' > 0 et
:<math>\arctan{a} + \arctan{\frac{1}{a}} = -\frac{\pi}{2}</math> si ''a'' < 0.
La démonstration se fait par dérivation.
Lorsque ''ab'' > 1, la preuve précédente n'ayant pas fait usage de l'hypothèse ''ab'' < 1, elle reste valable.
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