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{{Fondements des mathématiques}}
Ce livre expose les principes généraux des mathématiques, c’est à dire les principes de la logique et des théories des ensembles.<br />
 
Il n’expose pas les principes particuliers à différents domaines des mathématiques (analyse, algèbre, ...).
 
'''Sommaire'''
==Que sont les mathématiques ?==
* [[Fondements des mathématiques/Que sont les mathématiques ?|Que sont les mathématiques ?]] : Ce chapitre 1 expose et discute diverses réponses aux questions sur la nature des mathématiques.
* [[Fondements des mathématiques/La logique|La logique]] : Ce chapitre expose les principes de la logique, c’est à dire les principes qu’il faut respecter pour faire des déductions valides.
 
* [[Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions|Les expressions formelles, les ensembles et les fonctionsTexte du chapitre 3]] : Ce chapitre expose les problèmes de l’existence des êtres mathématiques. Qu’est-ce qui existe au sens mathématique ? Un être mathématique c’est quoi ?
[[Fondements des mathématiques:Chapitre1|Texte du chapitre 1]]
* [[Fondements des mathématiques/L'incomplétude mathématique|L'incomplétude mathématique]] : Ce chapitre expose et prouve plusieurs théorèmes sur l'incomplétude des principes mathématiques.
 
* [[Fondements des mathématiques/Les axiomes des théories des ensembles|Les axiomes des théories des ensembles]] : Ce chapitre expose des axiomes pour les théories des ensembles. Plusieurs approches complémentaires sont présentées.
===La science des nombres et de l’espace===
* [[Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence|Des preuves de cohérence]] : Ce chapitre expose des preuves de cohérence des principes mathématiques. Il est plus audacieux que les précédents, pour lesquels presque tous les résultats présentés sont connus et prouvés depuis des décennies.
 
* [[Fondements des mathématiques/Conclusion|Conclusion]]
===La science des formes de déduction===
 
===La science de tous les mondes possibles===
 
===Autres approches===
 
==La logique==
Ce chapitre 2 expose les principes de la logique, c’est à dire les principes qu’il faut respecter pour faire des déductions valides.
 
[[Fondements des mathématiques:Chapitre2|Texte du chapitre 2]]
 
===L’évidence naturelle===
 
===Les raisons du formalisme===
 
===La grammaire du calcul des prédicats===
[[Fondements des mathématiques:Grammaire des prédicats|Texte de cette section]]
 
===La déduction naturelle===
[[Fondements des mathématiques:Déduction naturelle|Texte de cette section]]
 
===Autres formulations des principes de la logique du premier ordre===
[[Fondements des mathématiques: d'autres formulations des principes de la logique du premier ordre|Texte de cette section]]
 
===Les logiques d’ordre supérieur===
[[Fondements des mathématiques: les logiques d'ordre supérieur|Texte de cette section]]
 
===La théorie des modèles===
[[Fondements des mathématiques:Théorie des modèles|Texte de cette section]]
 
===Les définitions===
[[Fondements des mathématiques: les définitions|Texte de cette section]]
 
===L'égalité===
[[Fondements des mathématiques: l'égalité|Texte de cette section]]
 
===La complétude de la logique du premier ordre===
[[Fondements des mathématiques:Complétude de la logique du premier ordre|Texte de cette section]]
 
==Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions==
Ce chapitre 3 expose les problèmes de l’existence des êtres mathématiques. Qu’est-ce qui existe au sens mathématique ? Un être mathématique c’est quoi ?
 
[[Fondements des mathématiques:Chapitre 3|Texte du chapitre 3]]
 
===L’ontologie mathématique===
 
===L’existence des extensions conceptuelles, Frege et le paradoxe de Russell===
 
===Qu’est-ce qu’un ensemble ?===
 
===Les ensembles indicibles===
 
===Les systèmes formels===
 
===L’existence des non-ensembles===
 
===La théorie cantorienne des nombres infinis===
 
===Le théorème de l’incomplétude ontologique : il existe des ensembles indicibles===
 
==L’incomplétude mathématique==
Ce chapitre 4 expose et prouve plusieurs théorèmes sur l'incomplétude des principes mathématiques.
 
[[Fondements des mathématiques:Chapitre 4|Texte du chapitre 4]]
 
===Le paradoxe du menteur===
 
===Les prédicats de vérité et le théorème d’incomplétude de Tarski===
 
===Les prédicats de prouvabilité et le premier théorème d’incomplétude de Gödel===
 
===Les ensembles indicibles sont indéfinis===
 
===Les ensembles décidables et énumérables===
 
===Le théorème fondamental de l’indécidabilité et le problème de Türing===
 
===Où sont les axiomes manquants ?===
 
==Les axiomes des théories des ensembles==
Ce chapitre 5 expose des axiomes pour les théories des ensembles. Plusieurs approches complémentaires sont présentées.
 
[[Fondements des mathématiques:Chapitre 5|Texte du chapitre 5]]
 
===L’axiome d’extensionalité===
 
===L’approche de Zermelo, Fraenkel et Skolem===
 
===Une reformulation de ZFC, la théorie des classes de Von Neumann, Gödel et Bernays===
 
===La théorie des types de Whitehead et Russell===
 
===La théorie du zig-zag interdit de Quine===
 
===Le problème des définitions non-prédicatives===
 
===Les ensembles finitaires===
 
===Les ensembles infinitaires===
 
===L’axiome de fondation, la circularité et les hyperensembles===
 
==Des preuves de cohérence==
Ce chapitre expose des preuves de cohérence des principes mathématiques. Il est plus audacieux que les précédents, pour lesquels presque tous les résultats présentés sont connus et prouvés depuis des décennies.
 
[[Fondements des mathématiques:Chapitre 6|Texte du chapitre 6]]
 
===Comment prouver la fiabilité des principes ?===
====Qu’est-ce qu’une preuve ?====
 
====Comment prouver la vérité des axiomes ?====
 
====A quoi servent les méthodes formelles ?====
 
====Le programme de Hilbert====
 
===Les preuves de cohérence par la théorie des modèles===
 
===Une preuve naturelle de la cohérence de l’arithmétique formelle===
 
[[Fondements des mathématiques : une preuve naturelle de la cohérence de l'arithmétique formelle|Texte de cette section]]
 
===La construction finitaire de l’ensemble des vérités à partir d’un modèle===
[[Fondements des mathématiques : la construction finitaire de l'ensemble des vérités|Texte de cette section]]
===Une preuve formelle de la cohérence de l’arithmétique formelle===
[[Fondements des mathématiques : une preuve formelle de la cohérence de l'arithmétique formelle|Texte de cette section]]
===La cohérence des théories des ensembles finitaires===
[[Fondements des mathématiques : la cohérence des théories finitaires|Texte de cette section]]
===Le second théorème d ’incomplétude de Gödel et le programme de Hilbert===
[[Fondements des mathématiques : le second théorème d'incomplétude de Gödel|Texte de cette section]]
===Paradoxes des théories finitaires===
[[Fondements des mathématiques : Paradoxes des théories finitaires|Texte de cette section]]
===La cohérence des théories infinitaires===
[[Fondements des mathématiques : la cohérence des théories infinitaires|Texte de cette section]]
 
==Conclusion : la fiabilité des principes mathématiques==
[[Fondements des mathématiques:Conclusion|Texte de conclusion]]
 
[[Catégorie:Logique mathématique]]
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