Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme

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Nous étudierons ici la chute parabolique d'un solide dans un champ de pesanteur uniforme, dans un référentiel supposé galiléen. Il s'agit de la chute d'un solide lancé avec une vitesse initiale non nulle dans un champ ou la gravité ${\overrightarrow {g}}$ est verticale, dirigée vers le bas et de norme constante. On négligera toutes les forces de frottement et on se placera dans le repère $(xOz)$ avec $x$ et $z$ représentant les dimensions horizontales et verticales; le mouvement se faisant dans un plan vertical, il n'y a besoin que de deux dimensions pour le décrire.

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Aperçu de la situation

La trajectoire mouvement étudié peut se représenter graphiquement de la façon suivante, ce qui simplifiera l'établissement des équations horaires :

Equations horaires du mouvement

Deuxième loi de Newton

L'étude d'une chute parabolique d'un solide indéformable que l'on assimile à un point M se fait dans un référentiel supposé galiléen. La deuxième loi de Newton nous donne immédiatement :

$\Sigma _{{\overrightarrow {F}}ext}=m{\overrightarrow {a}}$

Les frottements étant négligés pour cette étude, on arrive à la conclusion que seul le poids s'applique au système ponctuel :

$m{\overrightarrow {g}}=m{\overrightarrow {a}}$

Le vecteur accélération

La formule trouvée ci-dessus, nous donne en simplifiant par $m$ :

${\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {g}}$

On déduit ainsi facilement les coordonnées de l'accélération qui sont les mêmes que celle du vecteur ${\overrightarrow {g}}$ :

${\overrightarrow {a}}{\begin{cases}a_{x}=0\\a_{z}=-g\end{cases}}$

On voit en effet que sur l'axe $(Ox)$ le vecteur pesanteur est nul et sur $(Oz)$ sa projection est égale à sa norme et on rajoute un $-$ puisqu'il est en sens opposé à ${\overrightarrow {z}}$

On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.

Le vecteur vitesse

Les coordonnées de ce vecteur s'obtiennent par intégration selon le temps de celles du vecteur vitesse, d'après la relation ${\overrightarrow {a}}={\frac {d{\overrightarrow {v}}}{dt}}$

Ainsi, on obtient :

${\overrightarrow {v}}{\begin{cases}v_{x}=C\\v_{z}=-gt+C'\end{cases}}$

Où C et C' sont des constantes que l'on va déterminer d'après les conditions initiales.

En effet, à $t=0$, on connait les coordonnées du vecteur vitesse initiale :

Le vecteur ${\overrightarrow {v_{o}}}$ a pour norme $v_{0}$ et fait avec l'horizontale un angle $\alpha$. Par projeté orthogonal, on trouve les valeurs $v_{0}x$ et $v_{0}z$ qui correspondent à nos deux constantes C et C', on a alors :

${\overrightarrow {v}}{\begin{cases}v_{x}=v_{0}cos(\alpha )\\v_{z}=-gt+v_{0}sin(\alpha )\end{cases}}$

On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan $(xOz)$

Le vecteur OM

De manière analogue que pour le vecteur vitesse, on a : ${\overrightarrow {v}}={\frac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}$

On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle \overrightarrow {OM} \begin{cases} x= v_0 cos (\alpha) t + C \\v_z=-\frac{1}{2}gt^2 + v_0 sin (\alpha) t + C' \end{cases}}

Toujours de façon similaire, on détermine les constantes C et C' en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point M à $t=0$, on les appelle $x_{0}$ et $z_{0}$ (en général le repère est tel que $x_{0}=0$ et l'on appelle h l'altitude $z_{0}$ initiale, cas que l'on utilisera ici). On arrive enfin aux équations horaires du mouvement a proprement parler:

${\overrightarrow {OM}}{\begin{cases}x=v_{o}cos(\alpha )t\\z={\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}sin(\alpha )t+h\end{cases}}$