« Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme » : différence entre les versions
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equation de trajectoire |
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On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :
<math>\overrightarrow {OM} \begin{cases} x= v_0 cos (\alpha) t + C \\
Toujours de façon similaire, on détermine les constantes C et C' en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point M à <math>t=0</math>, on les appelle <math>x_0</math> et <math>z_0</math> (en général le repère est tel que <math>x_0=0</math> et l'on appelle h l'altitude <math>z_0</math> initiale, cas que l'on utilisera ici). On arrive enfin aux équations horaires du mouvement a proprement parler:
<math>\overrightarrow {OM} \begin{cases} x=
On remarque que la trajectoire de la chute a une allure de parabole (d'où son nom) qu'en mathématique on peut définir par une fonction de la forme <math>y=ax^2+bx+c</math>, on va donc essayer de retrouver une équation de ce type d'après les équations horaires pour avoir l'équation de la trajectoire.
On va d'abord exprimer <math>t</math> en fonction de <math>x</math> puis remplacer ce dernier dans l'expression de <math>z</math>.
<math>x=v_0 cos(\alpha)\times t</math> mène à <math>t=\frac{x}{v_0 sin(\alpha)}</math>
et on arrive à :
<math>z=-\frac{gx^2}{2(v_0)^2 cos^2(\alpha)} + \frac {v_0 sin (\alpha)x}{v_0 cos (\alpha)} + h </math> qui mène par simplifications à :
<math>z=-\frac{gx^2}{2(v_0)^2 cos^2(\alpha)} + tan (\alpha)x + h </math>
== Portée et flèche de la trajectoire ==
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