« Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme » : différence entre les versions
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Ligne 90 :
<math>z=-\frac{gx^2}{2(v_0)^2 cos^2(\alpha)} + tan (\alpha)x + h </math>
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=== La portée ===
La définition de la portée est a priori très instinctive, il s'agit de la distance qui séparent l'abscisse du point d'origine du mouvement avec l'abscisse du point d'impact du système sur le sol. En général, le repère est tel que le sol se trouve au niveau de l'axe <math>(0x)</math> (<math>z=0</math>).
Ainsi, trouver l'abscisse de ce point d'impact revient à résoudre l'équation du second degré :
<math> - \frac{gx^2}{2(v_0)^2 cos^2(\alpha)}+ tan(\alpha) x + h = 0 </math>
La résolution se fait de manière classique :
<math>\Delta = tan^2(\alpha) - 4\times h \times \frac{(-g)}{2(v_0)^2cos^2(\alpha)}</math>
<br />
<math>\Delta = tan^2(\alpha) + \frac {2gh}{(v_0)^2cos^2(\alpha)}</math>
<br/>
<math>\Delta = \frac{(v_0)^2cos^2(\alpha)tan^2(\alpha) + 2gh}{(v_0)^2cos^2(\alpha)}</math>
<br/>
<math>\Delta = \frac{(v_0)^2sin^2(\alpha) + 2gh}{(v_0)^2cos^2(\alpha)}</math>
Tous les termes étant positifs (de part le choix du repère et les carrés) l'équation admet deux solutions :
<math>x_1= \frac {-tan(\alpha)-\sqrt{\Delta}}{2\times \frac {-g}{2(v_0)^2cos^2(\alpha)}}</math>
<br/>
<math>x_1= (v_0)^2cos^2(\alpha)\frac {tan(\alpha)+\sqrt{\Delta}}{g}</math>
<br/>
et
<br/>
<math>x_1= \frac {-tan(\alpha)+\sqrt{\Delta}}{2\times \frac {-g}{2(v_0)^2cos^2(\alpha)}}</math>
<br/>
<math>x_1= (v_0)^2cos^2(\alpha)\frac {tan(\alpha)-\sqrt{\Delta}}{g}</math>
De ces deux solutions, seule la première correspond vraiment au point "d'impact" avec le sol, la deuxième a pour sens physique l'abscisse du point duquel serait parti le point M pour avoir suivi un telle trajectoire.
La portée est ensuite donnée simplement par <math> \Delta x = x_1 - x_0 </math>.
=== La flèche ===
[[Catégorie:Évolution temporelle des systèmes mécaniques]]
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