« Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme » : différence entre les versions
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=== La flèche ===
La flèche est, par définition, le point le plus haut de la trajectoire. On peut déterminer deux de ses caractéristiques de façon rapide à savoir la date à laquelle le point M se trouve au somment de sa trajectoire, ou l'abscisse ce point.
La date que nous appellerons <math>t_f</math> s'obtient assez simplement si l'on remarque le phénomène physique qui coïncide avec la flèche, c'est à dire l'annulation de la vitesse '''verticale''' (attention la composante horizontale n'est cependant pas nulle ! ).
Si l'on reprend l'expression de la composante verticale de la vitesse, on a :
<math>v_z= -gt + v_0 cos(\alpha)~</math>
On résout donc :
<math>-gt_h + v_0 cos(\alpha)=0~</math>
<math>t_h = \frac{v_0cos(\alpha)}{g}</math>
Une deuxième méthode consiste à revenir à la définition mathématique de la trajectoire et d'observer que la flèche correspond au point de la parabole dont la tangente est horizontale. On dérive donc <math>z(x)</math> et on trouve <math>x</math> tel que <math>z'(x)=0</math>.
<math> z= -\frac{gx^2}{2(v_0)^2 cos^2(\alpha)} + tan (\alpha)x + h </math>
<br/>
<math>\frac {dz}{dx} = -\frac{gx}{(v_0)^2 cos^2(\alpha)} + tan (\alpha)</math>
<br/>
Puis
<br/>
<math> -\frac{gx_h}{(v_0)^2 cos^2(\alpha)} + tan (\alpha)=0</math>
<br/>
<math> x_h= \frac {tan (\alpha) (v_0)^2 cos^2(\alpha)}{g} = \frac {(v_0)^2 cos(\alpha)sin(\alpha)}{g}</math>
Et on a ainsi l'expression de l'abscisse de la flèche de la trajectoire (qu'on pourra remplacer dans l'expression de z pour obtenir l'altitude maximale atteinte par le mobile.)
== Fin de l'étude ==
On a déterminé ici les grandeurs caractéristiques d'une chute libre parabolique dans un champ de pesanteur uniforme, peuvent être posés d'autres problèmes qui seront en lien avec l'ensemble des grandeurs présentées ici.
{{Début cadre|rouge|titre=Attention !}}
[[Image:Nuvola_apps_important.svg|35px]]
Les expressions données ici dépendent des conditions initiales et du choix du repère, ainsi; <math>x_0</math> ne sera pas nécessairement nul et <math>\overrightarrow {g}</math> pas forcément dans le sens opposé à <math>\overrightarrow {z}</math>. Il faudra adapter les calculs et expressions aux données du problème.
{{Fin cadre}}
[[Catégorie:Évolution temporelle des systèmes mécaniques]]
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