« Évolution temporelle des systèmes mécaniques/Mouvement parabolique dans un champ de pesanteur uniforme » : différence entre les versions
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Nous étudierons ici la chute parabolique d'un solide dans un champ de pesanteur uniforme, dans un référentiel supposé galiléen. Il s'agit de la chute d'un solide lancé avec une vitesse initiale non nulle dans un champ ou la gravité <math>\overrightarrow{g}</math> est verticale, dirigée vers le bas et de norme constante. On négligera toutes les forces de frottement et on se placera dans le repère <math>(xOz)~</math> avec <math>x</math> et <math>z</math> représentant les dimensions horizontales et verticales; le mouvement se faisant dans un plan vertical, il n'y a besoin que de deux dimensions pour le décrire.
== Aperçu de la situation ==
Ligne 40 :
<math>\overrightarrow {a}\begin{cases}a_x = 0 \\a_z = -g \end{cases}</math>
On voit en effet que sur l'axe <math>(Ox)~</math> le vecteur pesanteur est nul et sur <math>(Oz)~</math> sa projection est égale à sa norme et on rajoute un <math>-~</math> puisqu'il est en sens opposé à <math>\overrightarrow {z}</math>
On va pouvoir maintenant déduire les coordonnées du vecteur vitesse.
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[[Image:Defaut.svg]]
Le vecteur <math>\overrightarrow {v_o}</math> a pour norme <math>v_0</math> et fait avec l'horizontale un angle <math>\alpha</math>. Par projeté orthogonal, on trouve les valeurs <math>v_0x~</math> et <math>v_0z~</math> qui correspondent à nos deux constantes C et C', on a alors :
<math>\overrightarrow {v} \begin{cases} v_x= v_0 \cos
On peut à présent déterminer le vecteur vitesse du point M à tout instant de la chute libre. On va à présent déterminer la position de ce point dans le plan <math>(xOz)~</math>
=== Le vecteur OM ===
Ligne 70 :
On procède donc de la même façon que pour la vitesse en intégrant ses coordonnées, on arrive à :
<math>\overrightarrow {OM} \begin{cases} x= v_0 \cos
Toujours de façon similaire, on détermine les constantes C et C' en se plaçant à l'instant initial. Les constantes sont ainsi les coordonnées du point M à <math>t=0</math>, on les appelle <math>x_0</math> et <math>z_0</math> (en général le repère est tel que <math>x_0=0</math> et l'on appelle h l'altitude <math>z_0</math> initiale, cas que l'on utilisera ici). On arrive enfin aux équations horaires du mouvement a proprement parler:
<math>\overrightarrow {OM} \begin{cases} x=v_0 \cos(\alpha)t \\z=-\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin
== Equation de la trajectoire ==
Ligne 82 :
On va d'abord exprimer <math>t</math> en fonction de <math>x</math> puis remplacer ce dernier dans l'expression de <math>z</math>.
<math>x=v_0 \cos(\alpha)\times t</math> mène à <math>t=\frac{x}{v_0 \sin(\alpha)}</math>
et on arrive à :
<math>z=-\frac{gx^2}{2(v_0)^2 \cos^2(\alpha)} + \frac {v_0 \sin (\alpha)x}{v_0 \cos (\alpha)} + h </math> qui mène par simplifications à :
<math>z=-\frac{gx^2}{2(v_0)^2 \cos^2(\alpha)} + \tan (\alpha)x + h </math>
== Grandeurs caractéristiques de la trajectoire ==
Ligne 97 :
Ainsi, trouver l'abscisse de ce point d'impact revient à résoudre l'équation du second degré :
<math> - \frac{gx^2}{2(v_0)^2 \cos^2(\alpha)}+ \tan(\alpha) x + h = 0 </math>
La résolution se fait de manière classique :
<math>\Delta = \tan^2(\alpha) - 4\times h \times \frac{(-g)}{2(v_0)^
<br />
<math>\Delta = \tan^2(\alpha) + \frac {2gh}{(v_0)^
<br/>
<math>\Delta = \frac{(v_0)^
<br/>
<math>\Delta = \frac{(v_0)^
Tous les termes étant positifs (de part le choix du repère et les carrés) l'équation admet deux solutions :
<math>x_1= \frac {-\tan(\alpha)-\sqrt{\Delta}}{2\times \frac {-g}{2(v_0)^
<br/>
<math>x_1= (v_0)^
<br/>
et
<br/>
<math>
<br/>
<math>
De ces deux solutions, seule la première correspond vraiment au point "d'impact" avec le sol, la deuxième a pour sens physique l'abscisse du point duquel serait parti le point M pour avoir suivi un telle trajectoire.
La portée est ensuite donnée simplement par <math> \Delta x = x_1 - x_0 ~</math>.
=== La flèche ===
Ligne 133 :
Si l'on reprend l'expression de la composante verticale de la vitesse, on a :
<math>v_z= -gt + v_0
On résout donc :
<math>-gt_h + v_0
<math>t_h = \frac{
Une deuxième méthode consiste à revenir à la définition mathématique de la trajectoire et d'observer que la flèche correspond au point de la parabole dont la tangente est horizontale. On dérive donc <math>z(x)</math> et on trouve <math>x</math> tel que <math>z'(x)=0</math>.
<math> z= -\frac{gx^2}{2(v_0)^2
<br/>
<math>\frac {dz}{dx} = -\frac{gx}{(v_0)^2 \cos^2(\alpha)} + \tan
<br/>
Puis
<br/>
<math> -\frac{gx_h}{(v_0)^2
<br/>
<math> x_h= \frac {\tan
Et on a ainsi l'expression de l'abscisse de la flèche de la trajectoire (qu'on pourra remplacer dans l'expression de z pour obtenir l'altitude maximale atteinte par le mobile.)
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