« Trigonométrie/Annexe/Cercle trigonométrique et radians » : différence entre les versions
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|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Cours de mathématiques de seconde/Fonctions circulaires]]
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|suivant=[[Fonctions circulaires/Fonction cosinus]]
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[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Cours de mathématiques de seconde]]
== Le cercle trigonométrique ==
{{définition|contenu=Dans un repère orthonormé, on appelle ''cercle trigonométrique'' le cercle ayant pour centre l'origine du repère et pour rayon 1.}}
[[Image:Cercle_trigo.svg|thumb|275px|Le cercle trigonométrique]]
Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé '''sens trigonométrique direct'''.
Le périmètre du cercle <math>\scriptstyle\mathcal{C}</math> est donné par :
<center><math>\begin{align}
P &= 2\pi\times 1\\
&= 2\pi.
\end{align}</math></center>
sur le cercle trigonométrique, les valeurs <math>\scriptstyle 0</math> et <math>\scriptstyle 2\pi</math> se trouvent confondues.
Il en est d'ailleurs de même pour <math>\scriptstyle 2\pi,4\pi,-2\pi,-4\pi,\ldots</math>.
Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés <math>\scriptstyle \pi, \textstyle\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4},\scriptstyle\ldots</math>.
Si <math>M_1</math> d'abscisse <math>x_1</math> est confondu avec <math>M_0</math>, on dit que « <math>x_0</math> est congru à <math>x_1</math> modulo <math>\scriptstyle 2\pi</math> ». On écrit : <math>\scriptstyle x_0\equiv x_1 [2\pi]</math>.}}
Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme <math>\scriptstyle\lambda\pi</math>, avec <math>\scriptstyle \lambda\in\R</math>.
{{exemple|contenu=Les points <math>A</math> et <math>B</math> d'abscisses curvilignes respectives <math>\textstyle\frac{\pi}{5}</math> et <math>\textstyle\frac{11\pi}{5}</math> sont confondus.
<math>\scriptstyle -\textstyle\frac{9\pi}{5}</math>, <math>\textstyle \frac{21\pi}{5}</math> ou <math>\scriptstyle -\textstyle\frac{19\pi}{5}</math>, par exemple, sont aussi des abscisses curvilignes de <math>A</math> (ou de <math>B</math>).}}
Sur le cercle trigonométrique, deux points <math>A</math> et <math>B</math>, d'abscisses respectives <math>x_A</math> et <math>x_B</math>, définissent un ''arc orienté'' <math>\scriptstyle\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}</math>, c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, <math>A</math>) et un sens (ici de <math>A</math> vers <math>B</math>).
[[Image:Cercle_trigo_2.svg|thumb|200px|Une abscisse curviligne de <math>M_0</math> et un arc orienté <math>AB</math>.]]
{{définition|titre=Définitions|contenu=Une ''mesure d'un arc orienté <math>\scriptstyle\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}</math>'' est définie par la différence entre une abscisse <math>x_A</math> de <math>A</math> et une abscisse <math>x_B</math> de <math>B</math>. <math>A</math> et <math>B</math> ayant chacun une infinité d'abscisses modulo <math>\scriptstyle 2\pi</math>, les mesures de <math>\scriptstyle\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}</math> sont toutes de la forme :
<center>
<math>\mathrm{mes}(\overset{\displaystyle\curvearrowright}{AB}) = x_B-x_A + 2k\pi, k\in\Z</math>
</center> que nous pouvons également écrire :
<center>
<math>\mathrm{mes}(\overset{\displaystyle\curvearrowright}{AB})\equiv x_B-x_A [2\pi].</math>
</center>
La mesure comprise dans l'intervalle <math>[-\pi,\pi]</math> est la ''mesure principale'' de <math>\scriptstyle\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}</math>. Elle correspond à la longueur (en valeur algébrique) du chemin le plus court reliant <math>A</math> à <math>B</math>.}}
== Le radian ==
[[Image:Unit circle angles.svg|thumb|300px|Quelques correspondances radian-degré.]]
{{définition|contenu=À tout arc orienté <math>\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{AB}</math> du cercle trigonométrique peut être associé un ''angle orienté'' <math>\alpha</math> compris entre les droites dirigées par <math>\overrightarrow{\scriptstyle OA}</math> et <math>\overrightarrow{\scriptstyle OB}</math>, et interceptant <math>\scriptstyle\overset{\scriptstyle\curvearrowright}{AB}</math>. Sa ''mesure en radian'' est définie par :
<center>
<math>\alpha = \mathrm{mes}(\overset{\displaystyle\curvearrowright}{AB}).</math>
</center>}}
'''Remarques :'''
*Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle <math>\scriptstyle\mathcal{C}</math>, séparés d'une distance <math>\scriptstyle 2k\pi</math> (<math>\scriptstyle k\in\Z</math>).
*On montre aisément que :
<center>
<math>1\mbox{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}.</math>
</center>
L'angle <math>\alpha</math> peut aussi être notée :
<center>
<math>(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})</math> ou <math>(\overline{ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}).</math>
</center>
La dernière notation correspond à la mesure de <math>\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{AB}</math> mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.
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