« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions

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Définitions et propriétés
Achèvement
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{{ébauche mathématiques}}
{{Chapitre|titre=Produit scalaire|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Espace préhilbertien réel]]|numero=2|précédent=[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques|Formes bilinéaires symétriques]]|suivant=[[Espace préhilbertien réel/Orthogonalité|Orthogonalité]]|niveau=14}}
 
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{{principe|titre=Convention de notation|contenu=On notera ce produit scalaire <math>(\cdot|\cdot)</math> (au lieu de <math>f(\cdot,\cdot)</math>).}}
 
===Propriétés===
{{théorème|titre=Inégalité de Cauchy-Schwarz|contenu=<math>\forall(x,y)\in E^2,~(x|y)^2\leq(x|x)(y|y)</math>
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===Propriétés===
{{théorème|titre=Identité du parallélogramme|contenu=<math>\forall(x,y)\in E^2,;~||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2</math>}}
 
 
 
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*<math>\forall(x,y)\in E^2,~||x+y||^2-||x-y||^2=4(x|y)</math>}}
 
== Exemples fondamentaux ==
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans R<sup>n</sup>|contenu=
<math>E=\R^n</math> muni du produit scalaire usuel <math>\forall(x,y)\in E^2,~(x|y)=\sum_{i_1}^nx_iy_i</math>
*La norme associée est la norme euclidienne : <math>\forall x\in E,~||x||=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}</math>
*L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(x,y)\in E^2,~\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^niy_i^2\right)</math>}}
 
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans C([a,b])</sup>|contenu=
<math>E=\mathcal C([a,b])</math> muni du produit scalaire <math>\forall(f,g)\in E^2,~(f|g)=\int_a^b f(t)g(t)~\mathrm dt</math>
*La norme associée est la norme 2 : <math>\forall f\in E,~||f||_2=\sqrt{\int_a^b f(t)^2~\mathrm dt}</math>
*L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(f,g)\in E^2,~\left(\int_a^b f(t)g(t)~\mathrm dt\right)^2\leq\left(\int_a^bf(t)^2~\mathrm dt\right)\left(\int_a^bg(t)^2~\mathrm dt\right)</math>}}
 
 
{{exemple|titre=Produit scalaire et norme dans l<sup>2</sup>(R)|contenu=
<math>E=\ell^2(\R)</math> muni du produit scalaire <math>\forall(u,v)\in E^2,~(u|v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n</math>
*La norme associée est la norme 2 : <math>\forall u\in E,~||u||_2=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2}</math>
*L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(u,v)\in E^2,~\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n\right)^2\leq \left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n^2\right)</math>}}
[[Catégorie:Espace préhilbertien réel]]