« Fondements des mathématiques/Que sont les mathématiques ? » : différence entre les versions

 

Ce chapitre expose et discute diverses réponses aux questions sur la nature des mathématiques.

Depuis l’antiquité, l’arithmétique et la géométrie sont considérés comme les sciences mathématiques par excellence. Euclide fait figure de père fondateur. La méthode axiomatique utilisée par Euclide était considérée comme un idéal de perfection du raisonnement, à tel point que pour désigner la logique, Pascal disait “l’esprit de géométrie”.

 

Les développements modernes des mathématiques ont cependant rendu obsolète cette définition traditionnelle des objets mathématiques, parce que de nouveaux types de nombres et d’espaces abstraits sont apparus.

 

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. On peut dire que toutes les sciences sont mathématiques, même l’histoire, au sens où elles font toutes des déductions, et parce qu’une déduction a toujours quelque chose de mathématique, pourvu qu’elle soit juste.

 

Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées, parce qu'il s'agit de théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) qui ont une utilité générale pour toutes les sciences. Elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer ces théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

 

Pour un mathématicien rien n’est impossible sauf ce qui est contradictoire. Par là on veut dire qu’un discours non-contradictoire est à propos d’un monde concevable, imaginable, idéal.