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« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions

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La question de l’existence est aussi nommée la question ontologique. L’ontologie d’une théorie, c’est l’ensemble de tous les énoncés d’existence des objets qu’elle étudie.
 
L’ontologie des mathématiques a été très controversée. Les nouveaux êtres mathématiques, les nombres négatifs, complexes, infinis, les lignes continues non-différentiables, les espaces abstraits et beaucoup d’autres ont tous rencontré des résistances avant d’être kikouassez agénéralement tousacceptés. jeOn recherchedispose aujourd’hui de méthodes ontologiques très tolérantes, les théories des infosensembles, surqui sont suffisantes pour la grande majorité des besoins des mathématiciens. Elles permettent d’attribuer l’existence à presque tous les propriétéêtres deabstraits mathsconcevables. jeMais suiscette ensection classeet deles suivantes montreront qu’on ne peut pas supprimer le “presque” dans la phrase précédente, que l’incomplétude ontologique 3°merciest fondamentale.
. On dispose aujourd’hui de méthodes ontologiques très tolérantes, les théories des ensembles, qui sont suffisantes pour la grande majorité des besoins des mathématiciens. Elles permettent d’attribuer l’existence à presque tous les êtres abstraits concevables. Mais cette section et les suivantes montreront qu’on ne peut pas supprimer le “presque” dans la phrase précédente, que l’incomplétude ontologique est fondamentale.
 
Si on définit les mathématiques comme la science des formes de déduction, la question ontologique ne se pose pas. On suppose que les prémisses sont vraies. Tous les énoncés d’existence qu’elles contiennent sont des hypothèses dont la vérité dépend des objets (non-mathématiques) auxquels elles sont appliquées. Autrement dit tous les énoncés d’existence mathématique auraient un caractère hypothétique. Mais cette approche ne rend pas complètement compte des questions qui se posent aux mathématiciens.
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