« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions

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La théorie des modèles apporte une réponse plus prudente. Elle ne dit pas qu’il existe un monde idéal mais seulement qu’on peut l’imaginer. On interprète alors le théorème d’existence de l’ensemble des nombres réels, non comme une affirmation sur un mystérieux au de-là, mais seulement comme l’affirmation qu’il est possible de développer une théorie cohérente à propos d’un corps (au sens de l’algèbre), ordonné, archimédien et complet.
 
De ce point de vue, la théorie des ensembles est interprétée non en référence non à l’au de-delà mais seulement à l’ici-bas, parce qu’ici nous sommes bien sûrs qu’il y a des êtres humains qui font des théories. On peut alors voir les théories des ensembles comme des théories de toutes les théories, ou de tous les mondes possibles, ceux-ci étant déterminés par celles-la.
 
Les théories des ensembles apportent donc un point de vue très général. En fait, tous les théorèmes mathématiques peuvent être démontrés à l’intérieur d’une théorie des ensembles. Mais la puissance de ces théories posent des difficultés. Nous allons voir qu’il n’est pas facile de les formuler d’une façon cohérente.