« Utilisateur:RM77/DMs » : différence entre les versions
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Ligne 102 :
# Mq <math>(\forall n\in \mathbb{N})(\exists (p,q)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N})/f(p,q)=n</math>. On pourra procéder par récurrence sur <math>n\,</math>.
# Mq <math>f\,</math> est bijective.
1. Suffit de montrer les trois axiomes des relations d'ordre total... spa bien dur.
2. Supposons (p,q)R(p', q') et (p,q) différent de (p',q').
C'est-à-dire que :
* (p + q < p' + q') (1) ou ((p+q = p'+q') et q ≤ q') (2) ;
* (p,q) est différent de (p',q')
Alors,
f(p,q)=q+(p+q)(p+q+1)/2 ;
f(p',q')=q'+(p'+q')(p'+q'+1)/2 ;
f(p,q) - f(p',q') = q - q' + (p+q)(p+q+1)/2 - (p'+q')(p'+q'+1)/2 = q-q' + 1/2 ( (p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) )
Si (2), alors la somme de droite est nulle, et on a f(p,q) - f(p',q') = q - q' ≤ 0 CQFD.
Si (1), alors développons les produits de droite :
*(p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) = p² + 2pq + q² + p + q - (p'² + 2p'q' + q'² + p' + q')
* = (p + q - (p' + q')) + (p² + 2pq + q²) - (p'² + 2p'q'+ q'²)
* = (p + q - (p' + q')) + (p+q)² - (p' + q')²
* = (p + q - (p' + q')) + (p+q + p'+q')×(p+q - (p'+q'))
Le membre de gauche est négatif par (1), le membre de droite est produit d'un nombre positif (à gauche) et négatif (par (1)) donc est négatif. Conclusion : il s'agit d'un nombre négatif.
CQFD.
3. Simple calcul.
4. Récurrence facile.
5. La question 4 montre que ''f'' est surjective. (Des arguments de dimension infinie hors-programme permettent de conclure ou) vérifions que f est injective :
Soit p,q tq f(p,q)=0, alors :
* 0 = q + 1/2 ((p+q)(p+q+1))
Il s'agit d'une somme de termes positifs. Ainsi, les deux termes de la somme sont nuls :
* q = 0
* p * (p+1) = 0
Le polynôme X² + X = X(X+1) n'admet qu'une racine positive : 0. Ainsi, p = q = 0. Conclusion : f est injective.
par conséquent, f est bijective. CQFD.
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