« Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence » : différence entre les versions
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Pour prouver que quelque chose est vrai, il faut avoir une idée de la vérité. La théorie des modèles donne une telle idée et un moyen de prouver qu’un axiome est vrai. Un système d’axiomes est vrai quand il y a un modèle pour lui. Il suffit de trouver un modèle et la vérité de tous les axiomes est automatiquement établie. C’est vrai pour toutes les formules, pas seulement les axiomes. Pour prouver la vérité d’une formule, il faut prouver qu’elle est vraie dans un modèle. Mais habituellement une formule est prouvée à partir d’axiomes et le modèle, s’il existe, est seulement implicite. Cela suffit pour prouver la vérité de cette formule dans le modèle pourvu que l’on sache déjà que les axiomes y sont vrais et que les déductions logiques soient valides.
Cette définition de la vérité par la théorie des modèles laisse cependant des questions sans réponses. Comment prouve-t-on que des axiomes sont vrais dans un modèle ? Un modèle est défini avec des ensembles et des fonctions. Si on veut prouver qu’un modèle existe pour un système d’axiomes, on
Il semble qu’il y a un cercle vicieux dans cette approche de la vérité mathématique. Pour prouver qu’une théorie est vraie, il faut prouver l’existence d’un modèle. Mais pour cela, on a besoin d’une théorie des ensembles, et plus précisément d’une vraie théorie des ensembles. Mais comment sait-on que cette théorie est vraie ?
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Les découvertes scientifiques sont en vérité de bien meilleures preuves de la validité de nos principes de preuve que tout argument a priori.
Tant qu’on se limite aux cas les plus élémentaires, on peut se fier à nos connaissances intuitives sur les principes de preuve. Mais si on veut aller plus loin, alors il faut s’interroger de façon critique sur la fiabilité de nos méthodes et prouver avec des moyens élémentaires que des méthodes non-élémentaires sont fiables. Ce point est développé dans ce chapitre. Il résume à lui seul tout l’esprit de cette approche des fondements des mathématiques. C’est l’histoire du lion, la vérité, qui se fait aider par une souris, les évidences élémentaires.
===A quoi servent les méthodes formelles ?===
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