Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides
Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Statique des fluides (PCSI) : Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique étant sauf avis contraire « orienté à droite »[1].
Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide[2] étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose de déterminer la résultante de ces forces de pression, Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’établir que cette résultante est au volume de la particule de fluide[2] et Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’en déduire la « force volumique équivalente » c'est-à-dire le rapport de la résultante des forces de pression s'exerçant sur cette particule de fluide[2] divisée par le volume de cette dernière ;
on va établir l'expression de cet équivalent en travaillant en coordonnées cartésiennes, on va induire une expression intrinsèque de cet équivalent et on va vérifier la validité de cette dernière quand on la traduit dans les autres systèmes de coordonnées principalement cylindro-polaire et sphérique.
Établissement de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide parallélépipédique en repérage cartésienmodifier
Considérant le repérage cartésien d'une particule de fluide[2] de forme parallélépipédique centrée en un point quelconque, les faces étant respectivement aux plans , ou , celles en regard étant séparées de , ou voir schéma ci-contre, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide[2] :
soient les deux faces en regard « d'abscisse , de vecteur surface élémentaire»[3] et soient les deux faces en regard « d'abscisse , de vecteur surface élémentaire»[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» soit encore «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, «» soit finalement, «» ;
soient les deux faces en regard « d'ordonnée , de vecteur surface élémentaire»[3] et soient les deux faces en regard « d'ordonnée , de vecteur surface élémentaire»[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, «» soit finalement, «» ;
soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire»[3] et soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire»[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, «» soit finalement, «» ;
en ajoutant les trois contributions précédentes «», «» et «» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2]c'est-à-dire «» soit, après report des expressions approchées de «», «» et «» et factorisation évidente,
«» ;
finalement, reconnaissant les composantes cartésiennes du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” »[5] dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] se réécrit selon l'équivalent volumique suivant
Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage cylindro-polairemodifier
Considérant le repérage cylindro-polaire d'axe d'une particule de fluide[2] constituée d'une portion élémentaire de tuyau cylindrique centrée en un point quelconque, les faces étant des portions de cylindres ou de plans méridiens ou de plans , celles en regard étant respectivement séparés de ou de l'écart angulaire ou de la distance voir schéma ci-contre, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide[2] :
soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3] et soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» soit encore « ou, après factorisation de la partie commune «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon - pression » considérée comme fonction d'une variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et , puis, par différence et après simplification évidente, «» soit finalement la réécriture de la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et selon «»[7] ;
soient les deux faces en regard « d'abscisse angulaire , de vecteur surface élémentaire»[3] et soient les deux faces en regard « d'abscisse angulaire , de vecteur surface élémentaire»[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» ou, après factorisation de la partie commune «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire orthoradial » considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[8] pour évaluer les expressions vectorielles et nous obtenons alors , puis, par différence, «» soit finalement, «»[7] ;
soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire»[3] et soient les deux faces en regard « de cote , de vecteur surface élémentaire»[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» ou, après factorisation de la partie commune «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, par différence et après simplification évidente, «» soit finalement, «»[7] ;
en ajoutant les trois contributions précédentes «», «» et «» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2]c'est-à-dire «» soit, après report des expressions approchées de «», «» et «» et factorisation évidente, «» soit encore, avec [9] soit, après simplification évidente,
«» ;
finalement, reconnaissant les composantes cylindro-polaires du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” »[10] dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] se réécrit selon l'équivalent volumique suivant
Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage sphériquemodifier
Considérant le repérage sphérique de pôle et d'axe d'une particule de fluide[2] constituée d'une portion élémentaire de couche sphérique, portion élémentaire centrée en un point quelconque, les faces étant des portions de sphères ou de plans méridiens ou de surfaces coniques d'axe , celles en regard étant respectivement séparés de ou de l'écart angulaire ou de l'écart angulaire voir schéma ci-contre, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide[2] :
soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3],[11] et soient les deux faces en regard « de rayon , de vecteur surface »[3],[11], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» soit encore « ou, après factorisation de la partie commune «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon au carré - pression » considérée comme fonction d'une variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer et nous obtenons , puis, en faisant la différence, «» «»[12] ;
soient les deux faces en regard « de colatitude , de vecteur surface élémentaire»[3],[13] et soient les deux faces en regard « de colatitude , de vecteur surface élémentaire»[3],[13], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» ou, après factorisation de la partie commune «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - sinus de colatitude - vecteur unitaire colatitudal » considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[8] pour évaluer et , puis, par différence et après simplification évidente, «» dont nous déduisons finalement «»[12] ;
soient les deux faces en regard « de longitude , de vecteur surface élémentaire»[3] et soient les deux faces en regard « de longitude , de vecteur surface élémentaire»[3], soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces et s'écrit «» ou, après factorisation de la partie commune «» ; soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire longitudal considérée comme fonction d'une seule variable si et sont figées au voisinage de la valeur particulière »[4] pour évaluer les expressions vectorielles des produits et nous obtenons alors , puis, par différence, «» soit finalement, «»[12] ;
en ajoutant les trois contributions précédentes «», «» et «» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2]c'est-à-dire «» soit, après report des expressions approchées de «», «» et «» et factorisation, «» soit, avec [14],[15] soit encore, après simplification évidente,
«» ;
finalement, reconnaissant les composantes sphériques du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” »[16] dans le 2ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] se réécrit selon l'équivalent volumique suivant
En complément, possibilité de calculer la résultante des forces de pression exercées sur une partie du fluide à l’intérieur d'une surface fermée (fictive) par le fluide situé à l’extérieur à partir de l'« équivalent volumique des forces de pression du fluide »modifier
Remarque préliminaire : La résultante des forces de pression exercées par le fluide à l'extérieur d'une surface fermée fictive sur la partie du fluide situé à l’intérieur est aussi Remarque préliminaire : la résultante des forces pressantes exercées sur un corps , de surface extérieure , totalement immergé dans le fluide , dans la mesure où peut être remplacé par son « fluide déplacé »[17] c'est-à-dire remplacé par du fluide fictif sans modification de la répartition du champ de pression dans à l'extérieur de .
Développement : il est usuel d'effectuer le calcul de la résultante des forces de pression exercées par le fluide à l'extérieur d'une surface fermée fictive sur la partie du fluide situé à l’intérieur en ajoutant toutes les forces surfaciques que le fluide extérieur exerce sur cette surface fermée selon
Développement : considérons le fluide intérieur à c'est-à-dire composé de particules de fluide[2] d'expansion tridimensionnelle modélisée en cartésien par des petits parallélépipèdes rectangles pour lesquels « est l'aire d'une des faces centrée en de la particule de fluide[2] considérée » cette face étant orientée de l'intérieur de la particule de fluide[2] vers l'extérieurles cinq autres faces de cette particule de fluide[2] n'apparaissant pas dans l'intégrale surfacique évaluant la résultante des forces de pression exercées par sur , Développement : considérons « la face opposée correspondante étant centrée en un point strictement intérieur à » et Développement : considérons « les quatre autres faces respectivement centrées en étant également des faces communes à quatre particules de fluide[2] voisines dont une des faces est centrée en avec infiniment proche de sur la surface » ;
Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes en ajoutant des termes élémentaires à l'intégrale évaluant sans en modifier le résultat, pour cela remarquant que Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes les quatre autres faces de la particule de fluide[2] considérée , faces centrées en , étant communes à quatre particules de fluide[2] voisines dont une des faces est centrée en avec infiniment proche de sur la surface , « l'ajout des quatre termes élémentaires associés à la particule de fluide[2]» ne modifie pas le résultat de l'intégrale dans la mesure où il est compensé par « l'ajout simultané des quatre termes élémentaires associés aux particules de fluide[2] voisines » la pression ainsi que l'aire élémentaire en étant évidemment les mêmes et les vecteurs unitaires normaux étant opposés l'un de l'autre suivant qu'ils sont associés à la particule de fluide[2] ou à une de ses voisines et que Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes la 5ème face de la particule de fluide[2]face opposée à celle centrée en de la particule de fluide[2], 5ème face centrée en un point strictement intérieur à , étant commune à une particule de fluide[2] voisine strictement intérieur à donc sans face située sur , « l'ajout du terme élémentaire associé à la particule de fluide[2]» ne modifie pas le résultat de l'intégrale dans la mesure où il est compensé par « l'ajout simultané du terme élémentaire associé à la particule de fluide[2] voisine » la pression ainsi que l'aire élémentaire en étant évidemment les mêmes et les vecteurs unitaires normaux étant opposés l'un de l'autre suivant qu'ils sont associés à la particule de fluide[2] ou à celle voisine ; Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes il faut alors recommencer l'ajout de termes élémentaires en considérant chaque particule de fluide[2] de type c'est-à-dire dont une face est centrée en quelconque associée aux quatre particules de fluide[2] voisines de type et à la particule de fluide[2] également voisine de type , ainsi que Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes il faut alors recommencer l'ajout de termes élémentaires en considérant chaque particule de fluide[2] de type c'est-à-dire dont une face est centrée en strictement intérieur à , associée aux cinq particules de fluide[2] voisines de type c'est-à-dire dont au moins quatre autres faces sont centrées en strictement intérieur à la 5ème autre face pouvant être centrée en un point strictement intérieur à ou en un point sur , Développement : il est possible de faire apparaître ces cinq faces manquantes il faut alors recommencer l'ajout de tous ces termes élémentaires se compensant deux à deux et permettant de remplacer l'intégrale surfacique évaluant en la somme continue[19] des résultantes des forces pressantes que le fluide exerce sur toutes les particules de fluide situées à l'intérieur de c'est-à-dire « ou encore »[20] ;
Développement : finalement, en utilisant l'équivalent volumique[6] de la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide[2] «», la résultante des forces de pression exercées par le fluide à l'extérieur d'une surface fermée fictive sur la partie du fluide situé à l’intérieur se réécrit selon
Équation locale de la statique des fluides dans un référentiel galiléen : relation fondamentale de la statique des fluides (ou r.f.s.f.) dans un référentiel galiléenmodifier
Énoncé de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléenmodifier
Début d’un théorème
Relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen
Un fluide de « densité volumique de forces »[23] est en équilibre dans un référentiel galiléen si
«» C.N[24]. devenant C.S.[25] pour un fluide initialement au repos dans .
Considérons la C.N[24]. d’équilibre du fluide dans un référentiel galiléen, et plus particulièrement Considérons la C.N. celle d’équilibre de chaque particule de fluide[2] c'est-à-dire centrée en et de volume ;
Considérons cette particule de fluide[2] étant soumise à des forces volumiques de « densité volumique »[23] et Considérons cette particule de fluide étant soumise à des forces surfaciques pressantes de « densité surfacique » étant l'un des six centres des faces limitant l'expansion tridimensionnelle de , Considérons cette particule de fluide sa C.N[24]. d’équilibre s’écrit «» étant l'aire de la surface élémentaire de la ième face limitant l'expansion tridimensionnelle de ou, en remplaçant la résultante des forces pressantes que le restant du fluide exerce sur «» par son équivalent volumique «», la réécriture de la C.N[24]. d’équilibre de la particule de fluide[2] selon «» «» ou encore Considérons cette particule de fluide sa C.N. d’équilibre s’écrit «» C.Q.F.D[26]..
Préliminaire : La relation fondamentale de la statique des fluides r.f.s.f.voir le paragraphe « énoncé de la r.f.s.f. dans un référentiel galiléen » plus haut dans ce chapitre est une « équation locale », Préliminaire : la forme « différentielle » de la r.f.s.f. que nous allons déduire de la r.f.s.f. dans ce paragraphe est l'« équation intégrée associée à l'équation locale “r.f.s.f.” »[27]équation intégrée sous forme élémentaire[27].
Développement : considérant un déplacement élémentaire allant d’une particule de fluide[2] en équilibre centrée en à une particule de fluide[2] voisine infiniment proche également en équilibre et centrée en c'est-à-dire tel que , puis Développement : multipliant scalairement par la r.f.s.f. écrite en c'est-à-dire «», Développement : nous obtenons «» ou «» en utilisant la distributivité de la multiplication relativement à l'addition vectorielle[28], ou encore «» en utilisant la définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace[29] c'est-à-dire «».
Début d’un théorème
Forme différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides (r.f.s.f.) dans un référentiel galiléen
Un fluide de « densité volumique de forces »[23] est en équilibre dans un référentiel galiléen si la circulation élémentaire de la densité volumique de forces[23] en tout point est égale à la différentielle de la pression de en soit
«» C.N[24]. devenant C.S[25]. pour un fluide initialement au repos dans .
Fin du théorème
Retour sur l'équilibre d'un fluide dans un référentiel galiléen uniquement soumis à un champ de pesanteur uniformemodifier
Dans ce cas, il n'y a qu'une force volumique appliquée au fluide , la force volumique de pesanteur «» dans laquelle est la masse volumique de au point et le champ de pesanteur terrestre uniforme ; nous en déduisons l'expression de la r.f.s..f.
Dans ce cas, sous sa forme locale «»[30] qui s'écrit encore Dans ce cas, sous sa forme locale «» ou
Dans ce cas, sous sa forme différentielle «» qui s'écrit encore Dans ce cas, sous sa forme différentielle «»[31] «» en orientant l'axe vertical dans le sens ascendant[32] ou Dans ce cas, sous sa forme différentielle «»[31] «» en orientant l'axe vertical dans le sens descendant[33].
↑ 6,06,16,2 et 6,3 Cette forme est appelée « équivalent volumique » car son évaluation s'obtient en remplaçant les forces pressantes s'exerçant sur la surface de la particule de fluide par des forces réparties dans toute l'expansion tridimensionnelle de la particule avec une « densité volumique égale à ».
↑ Nous avions obtenu «» en faisant une approximation linéaire c'est-à-dire à l'ordre un en infiniment petit avec l'une des coordonnées de , dans la mesure où une intégrale volumique se réécrit, après paramétrage, sous la forme de intégrales simples c'est-à-dire sur un intervalle emboîtées et que chaque intégrale simple ignore, par définition, les termes infiniment petits d'ordre strictement supérieur à un, le symbole «» peut être remplacé par «»
↑ Le plus souvent ce n’est pas la bonne méthode de calcul, il est bien souvent préférable d’utiliser le calcul par intégrale surfacique
↑ 23,023,123,2 et 23,3 Plus exactement est la résultante des densités volumiques de forces
↑ 31,0 et 31,1 étant la différentielle d'une fonction scalaire des trois coordonnées cartésiennes ou cylindro-polaires du point le repérage sphérique étant exclu car un des vecteurs de base doit être vertical ascendant ou descendant, nous en déduisons de la forme différentielle de la r.f.s.f. que pour ascendant ou de pour descendant est aussi la différentielle d'une fonction scalaire des trois coordonnées cartésiennes ou cylindro-polaires du point , cette nécessité impliquant que la masse volumique du fluide ne peut pas dépendre des coordonnées cartésiennes ou cylindro-polaires horizontales du point , la condition d'égalité des dérivées croisées voir le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » devant être vérifiée ne dépend que de ou est une constante.