Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Équivalent volumique des forces de pression, équation locale de la statique des fluides

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L'espace physique étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite » .

Équivalent volumique des forces de pression dans un fluide

But recherché

     Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose de déterminer la résultante de ces forces de pression,
         Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’établir que cette résultante est $\;\propto \;$ au volume de la particule de fluide et
         Les forces de pression s'exerçant sur une particule de fluide étant réparties sur la surface limitant cette dernière, on se propose d’en déduire la « force volumique équivalente » c.-à-d. le rapport de la résultante des forces de pression s'exerçant sur cette particule de fluide divisée par le volume de cette dernière ;

     on va établir l'expression de cet équivalent en travaillant en coordonnées cartésiennes,
     on va induire une expression intrinsèque de cet équivalent et
     on va vérifier la validité de cette dernière quand on la traduit dans les autres systèmes de coordonnées $\;{\big (}$principalement cylindro-polaire et sphérique${\big )}$.

Établissement de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide parallélépipédique en repérage cartésien

Schéma de description d'une particule de fluide de forme parallélépipédique en repérage cartésien centrée en un point $\;P\;$ quelconque

     Considérant le repérage cartésien d'une particule de fluide de forme parallélépipédique centrée en un point $\;P\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ quelconque, les faces étant respectivement $\;\parallel \;$ aux plans $\;yOz$, $\;zOx\;$ ou $\;xOy$, celles en regard étant séparées de $\;dx$, $\;dy\;$ ou $\;dz$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)$ :

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;ABCD\;$ d'abscisse $\;x-{\dfrac {dx}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}=-dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;A'B'C'D'\;$ d'abscisse $\;x+{\dfrac {dx}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}=dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}\simeq -p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $\simeq p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\,dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}=\left[p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\right]\,dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big (}$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;y\;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;x\;$» pour évaluer $\;p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\;$ et $\;p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dx}{2}}\right]\\p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[{\dfrac {dx}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(x-{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)-p\!\left(x+{\dfrac {dx}{2}}\,,\,y\,,\,z\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dx\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dx\;dy\;dz\;{\vec {u}}_{x}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{x}\;$» ;

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;A'ADD'\;$ d'ordonnée $\;y-{\dfrac {dy}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}=-dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;B'BCC'\;$ d'ordonnée $\;y+{\dfrac {dy}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;A'ADD'\;$ et $\;B'BCC'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}\simeq$ $-p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\,dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}=\left[p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\right]\,dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big (}$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;x\;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;y\;$» pour évaluer $\;p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\;$ et $\;p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dy}{2}}\right]\\p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[{\dfrac {dy}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(x\,,\,y-{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)-p\!\left(x\,,\,y+{\dfrac {dy}{2}}\,,\,z\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dy\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dy\;dx\;dz\;{\vec {u}}_{y}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{y}\;$» ;

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;CC'D'D\;$ de cote $\;z-{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}=-dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;BB'A'A\;$ de cote $\;z+{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;CC'D'D\;$ et $\;BB'A'A\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\simeq$ $-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}=\left[p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\right]\,dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big (}$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;x\;$ et $\;y\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;z\;$» pour évaluer $\;p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dz}{2}}\right]\\p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(x\,,\,y\,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\,\left[{\dfrac {dz}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(x\,,\,y\,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(x\,,\,y\,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dz\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(x\,,\,y\,,\,z)\;dz\;dx\;dy\;{\vec {u}}_{z}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     $\succ \;$en ajoutant les trois contributions précédentes «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\;$» soit, après report des expressions approchées de «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» et factorisation évidente,

«$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(P)\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d{\mathcal {V}}\;$» ;

     $\succ \;$finalement, reconnaissant les composantes cartésiennes du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” » dans le 2^ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ se réécrit selon l'équivalent volumique suivant

«$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$» .

Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage cylindro-polaire

Schéma de description d'une particule de fluide constituée d'une portion élémentaire de tuyau cylindrique en repérage cylindro-polaire centrée en un point $\;P\;$ quelconque

     Considérant le repérage cylindro-polaire d'axe $\;Oz\;$ d'une particule de fluide constituée d'une portion élémentaire de tuyau cylindrique centrée en un point $\;P\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ quelconque, les faces étant des portions de cylindres ou de plans méridiens ou de plans $\;\parallel$, celles en regard étant respectivement séparés de $\;d\rho \;$ ou de l'écart angulaire $\;d\theta \;$ ou de la distance $\;dz$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)$ :

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;ABCD\;$ de rayon $\;\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}=-\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right)d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;A'B'C'D'\;$ de rayon $\;\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}=\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right)d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}\simeq -p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}-p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }-p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\,\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq \left[\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)-\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\right]\,d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon - pression $\;\rho \;p\;$» ${\big (}$considérée comme fonction d'une variable si $\;\theta \;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\rho \;$» pour évaluer $\;\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ et $\;\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\simeq \rho \;p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[-{\dfrac {d\rho }{2}}\right]\\\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\simeq \rho \;p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[{\dfrac {d\rho }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;\left\lbrace \rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho -{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)-\left\lbrace \rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\right\rbrace \,p\!\left(\rho +{\dfrac {d\rho }{2}}\,,\,\theta \,,\,z\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\rho \;$» soit finalement la réécriture de la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ selon «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq -\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\rho \;d\theta \;dz\;{\vec {u}}_{\rho }=-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{\rho }\;$»  ;

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;A'ADD'\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}=-d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;B'BCC'\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;A'ADD'\;$ et $\;B'BCC'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}\simeq$ $-p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,d\rho \;dz\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq \left[p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\right]\,d\rho \;dz\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire orthoradial $\;p\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» ${\big (}$considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si $\;\rho \;$ et $\;z\;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\theta \;$» pour évaluer les expressions vectorielles $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ nous obtenons alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[-{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\\p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence, «$\;p\!\left(\rho \,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,z\right)\,{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\theta \;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq -\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;d\theta \;d\rho \;dz=-{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$»  ;

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;CC'D'D\;$ de cote $\;z-{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}=-d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;BB'A'A\;$ de cote $\;z+{\dfrac {dz}{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;CC'D'D\;$ et $\;BB'A'A\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\simeq$ $-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\,d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq$ $\left[p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\right]\,d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire de la pression $\;p\;$ ${\big (}$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;z\;$» pour évaluer $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[-{\dfrac {dz}{2}}\right]\\p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq p(\rho \,,\,\theta \,,\,z)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\,\left[{\dfrac {dz}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z-{\dfrac {dz}{2}}\right)-p\!\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z+{\dfrac {dz}{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;dz\;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq -\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(\rho \,,\,\theta \,,\,z)\;dz\;d\rho \;\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{z}=-\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{z}\;$»  ;

     $\succ \;$en ajoutant les trois contributions précédentes «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\;$» soit, après report des expressions approchées de «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» et factorisation évidente, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(P)\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d{\mathcal {V}}\;$» soit encore, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial [\rho \;p]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho }}\,\left[p(P)+\rho \;\left({\dfrac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {p(P)}{\rho }}+\left({\dfrac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\\{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho }}\,\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }+p(P)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {p(P)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, après simplification évidente,

«$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -\left[\left({\dfrac {\partial p}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial p}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(P)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial p}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(P)\;{\vec {u}}_{z}\right]\,d{\mathcal {V}}\;$» ;

     $\succ \;$finalement, reconnaissant les composantes cylindro-polaires du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire “ pression ” » dans le 2^ème membre de la relation ci-dessus, la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ se réécrit selon l'équivalent volumique suivant

«$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}\simeq -{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right]\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$» .

Vérification de l'équivalent volumique des forces de pression exercées sur une particule de fluide par calcul direct en repérage sphérique

Schéma de description d'une particule de fluide constituée d'une portion élémentaire de couche sphérique en repérage sphérique, la portion élémentaire étant centrée en un point $\;P\;$ quelconque

     Considérant le repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;Oz\;$ d'une particule de fluide constituée d'une portion élémentaire de couche sphérique, portion élémentaire centrée en un point $\;P\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ quelconque, les faces étant des portions de sphères ou de plans méridiens ou de surfaces coniques d'axe $\;Oz$, celles en regard étant respectivement séparés de $\;dr\;$ ou de l'écart angulaire $\;d\theta \;$ ou de l'écart angulaire $\;d\varphi$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$, nous nous proposons de déterminer la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur cette particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)$ :

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;ABCD\;$ de rayon $\;r-{\dfrac {dr}{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}=-\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\right)^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;A'B'C'D'\;$ de rayon $\;r+{\dfrac {dr}{2}}$, de vecteur surface $\;{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}=\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\right)^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;ABCD\;$ et $\;A'B'C'D'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}\simeq -p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{ABCD}}}-p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{A'B'C'D'}}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}$ $\simeq p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}-p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$ ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq \left[\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)-\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\right]\,d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « rayon au carré - pression $\;r^{2}\;p\;$» ${\big (}$considérée comme fonction d'une variable si $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;r\;$» pour évaluer $\;\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ et $\;\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ nous obtenons $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\simeq r^{2}\;p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )+\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[-{\dfrac {dr}{2}}\right]\\\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\simeq r^{2}\;p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )+\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[{\dfrac {dr}{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, en faisant la différence, «$\;\left\lbrace r-{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r-{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)-\left\lbrace r+{\dfrac {dr}{2}}\right\rbrace ^{\!2}\,p\!\left(r+{\dfrac {dr}{2}}\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;dr\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\simeq -\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;dr\;d\theta \;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial [r^{2}\;p]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;{\vec {u}}_{r}\;$»  ;

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;A'ADD'\;$ de colatitude $\;\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}=-r\;\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;B'BCC'\;$ de colatitude $\;\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=r\;\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;A'ADD'\;$ et $\;B'BCC'\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}\simeq$ $-p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{A'ADD'}}}-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,{\overrightarrow {dS_{B'BCC'}}}=p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,r\;\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,r\;\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;d\varphi \;dr\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq \left[p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\right]\,r\;d\varphi \;dr\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - sinus de colatitude - vecteur unitaire colatitudal $\;p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» ${\big (}$considérée comme fonction vectorielle d'une seule variable si $\;r\;$ et $\;\varphi \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\theta \;$» pour évaluer $\;p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[-{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\\p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta )+\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[{\dfrac {d\theta }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence et après simplification évidente, «$\;p\!\left(r\,,\,\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta -{\dfrac {d\theta }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\,,\,\varphi \right)\,\sin \!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left(\theta +{\dfrac {d\theta }{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\theta \;$» dont nous déduisons finalement «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\theta \;r\;d\varphi \;dr=-{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$»  ;

     $\succ \;$soient les deux faces en regard «$\;CC'D'D\;$ de longitude $\;\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}=-r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard «$\;BB'A'A\;$ de longitude $\;\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}$, de vecteur surface $\;{\big (}$élémentaire${\big )}$ $\;{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard la somme des forces pressantes que le reste du fluide exerce sur les faces $\;CC'D'D\;$ et $\;BB'A'A\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\simeq$ $-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{CC'D'D}}}-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\overrightarrow {dS_{BB'A'A}}}=p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,r\;d\theta \;dr\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$» ou, après factorisation de la partie commune «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq$ $\left[p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\right]\,r\;d\theta \;dr\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$soient les deux faces en regard utilisant alors l'« approximation linéaire du produit « pression - vecteur unitaire longitudal $\;p\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ${\big (}$considérée comme fonction d'une seule variable si $\;r\;$ et $\;\theta \;$ sont figées${\big )}\;$ au voisinage de la valeur particulière $\;\varphi \;$» pour évaluer les expressions vectorielles des produits $\;p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$ et $\;p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\;$ nous obtenons alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[-{\dfrac {d\varphi }{2}}\right]\\p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\simeq p(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;{\vec {u}}_{\varphi }+\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\,\left[{\dfrac {d\varphi }{2}}\right]\end{array}}\right\rbrace$, puis, par différence, «$\;p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi -{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)-p\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\!\left(\varphi +{\dfrac {d\varphi }{2}}\right)\simeq$ $-\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\varphi \;$» soit finalement, «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\simeq -\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(r\,,\,\theta \,,\,\varphi )\;d\varphi \;r\;d\theta \;dr=-{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial \left[p\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(P)\;d{\mathcal {V}}\;$»  ;

     $\succ \;$en ajoutant les trois contributions précédentes «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» nous obtenons la résultante des forces pressantes exercées par le restant du fluide sur la particule de fluide $\;\left(P\,,\,d{\mathcal {V}}\right)\;$ c.-à-d. «$\;{\overrightarrow {dR}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,{\text{fluide ext}}}={\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,ABCD}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'B'C'D'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,A'ADD'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,B'BCC'}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,CC'D'D}+{\overrightarrow {dF}}_{\left(P,\,d{\mathcal {V}}\right)\,\leftarrow \,BB'A'A}\;$» soit, après report des expressions approchées de «$\;{\overrightarrow {dR}}_{1}\;$», «$\;{\overrightarrow {dR}}_{2}\;$» et «$\;{\overrightarrow {dR}}_{3}\;$» et factorisation, «${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{dR}}_{\left(P,d\mathcal{V}\right)\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->\text{fluide ext}}\simeq <!--\; \simeq \; -->-<!--\; -\; -->[\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}[r^{2}p]}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}r}\right)}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}(P){\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}_r+$