Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann

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Conséquence du champ de pression de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme sur la répartition statistique des molécules d’air en équilibre à une température donnée

Rappel du champ de pression de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

     Le champ de pression dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$ soumis à un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen s'écrit, au point $\;Q\;$ d'altitude $\;z$ $\;{\Big (}$l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant ascendant et $\;O\;$ le point de la surface du globe situé à la verticale du point $\;Q{\Big )}$,

«$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» avec «$\;p_{0}\;$ la pression à l'altitude nulle »,
«$\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}\simeq 29\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\;$ la masse molaire moléculaire de l'air »,
«$\;g\;$ l'intensité de la pesanteur terrestre » $\;{\big (}{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;$ et
«$\;R\;$ la constante molaire des G.P. approximativement égale à $\;8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}\;$» ;

     en introduisant «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\;$ la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$», le champ de pression peut être réécrit selon

«$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {z}{d}}\right)\;$» traduisant une $\;\searrow \;$ exponentielle de $\;p(z)\;$ quand $\;z\nearrow$.

Expression de la densité volumique molaire des molécules d'air en fonction de l'altitude

     Nous déterminons tout d'abord le champ de masse volumique de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$ soumis à un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen à partir du champ de pression «$\;p(z)=p_{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» en utilisant la forme locale de l'équation d'état de la particule d'atmosphère isotherme en équilibre thermodynamique à la température $\;T_{0}\;$ centrée au point $\;Q\;$ d'altitude $\;z$ $\;{\big [}$faisant intervenir les deux paramètres locaux dépendant de $\;z\;$ à savoir « la pression $\;p(z)\;$ et la masse volumique $\;\mu (z)\;$»${\big ]}\;$ c'est-à-dire «$\;p(z)={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}}}\;\mu (z)\;$» dont nous déduisons «$\;\mu (z)={\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}\;p(z)\;$» ainsi que la même relation appliquée à l'altitude nulle «$\;\mu _{0}={\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}\;p_{0}\;$» d'où le champ de masse volumique de l'air en multipliant de part et d'autre le champ de pression par $\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R\;T_{0}}}$,

«$\;\mu (z)=\mu _{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» ou encore,

     avec «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\;$ la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$», la réécriture du champ de masse volumique de l'air selon

«$\;\mu (z)=\mu _{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {z}{d}}\right)\;$» traduisant une $\;\searrow \;$ exponentielle de $\;\mu (z)\;$ quand $\;z\nearrow \;$ puis

     Nous déterminons le champ de densité volumique molaire «$\;n_{V}\;$» des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$ précédemment considéré à partir du champ de masse volumique de l'air «$\;\mu (z)=\mu _{0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» en utilisant «$\;n_{V}(z)={\dfrac {\mu (z)}{M_{\text{air}}}}\;$» ainsi que «$\;n_{V,\,0}={\dfrac {\mu _{0}}{M_{\text{air}}}}\;$» d'où le champ de densité volumique molaire des molécules d'air en divisant de part et d'autre le champ de masse volumique par $\;M_{\text{air}}$,

«$\;n_{V}(z)=n_{V,\,0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» ou encore,

     avec «$\;d={\dfrac {R\;T_{0}}{M_{\text{air}}\;g}}\;$ la constante d'altitude du modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$», la réécriture du champ de densité volumique molaire des molécules d'air selon

«$\;n_{V}(z)=n_{V,\,0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {z}{d}}\right)\;$» traduisant une $\;\searrow \;$ exponentielle de $\;n_{V}(z)\;$ quand $\;z\nearrow$.

Expression de la densité volumique moléculaire de l'air en fonction de l'altitude et réécriture en n'utilisant que des grandeurs d'échelle moléculaire

     Nous déterminons le champ de densité volumique moléculaire «$\;N_{V}\;$» de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$ soumis à un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen à partir de celui de densité volumique molaire «$\;n_{V}(z)=n_{V,\,0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère précédemment considéré en utilisant le lien entre les deux densités volumiques à l'altitude $\;z\;$ «$\;N_{V}(z)={\mathcal {N}}\;n_{V}(z)\;$» ainsi qu'à l'altitude nulle «$\;N_{V,\,0}={\mathcal {N}}\;n_{V,\,0}\;$» dans lequel «$\;{\mathcal {N}}\simeq 6,022\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ est la constante d'Avogadro » d'où le champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air en multipliant de part et d'autre le champ de densité volumique molaire par $\;{\mathcal {N}}$,

«$\;N_{V}(z)=N_{V,\,0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\right)\;$» ;

     il reste à transformer l'argument de l'exponentielle «$\;-{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\;$» de façon à remplacer les grandeurs molaires par des grandeurs moléculaires c'est-à-dire remplacer

• la « masse molaire moyenne de l'air $\;M_{\text{air}}\simeq 28,96\;10^{-3}\;kg\cdot mol^{-1}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}\;$» par la « masse moléculaire moyenne de l'air $\;m_{\text{air}}={\dfrac {M_{\text{air}}}{\mathcal {N}}}\simeq 4,809\;10^{-26}\;kg\;$ $\simeq 28,95\;u\simeq 29\;u\;$ » mais aussi
• la « constante molaire des G.P. $\;R\simeq 8,314\;J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\;$» par une constante d'échelle moléculaire appelée « constante de Boltzmann égale à $\;k_{B}={\dfrac {R}{\mathcal {N}}}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$» ;

     ainsi «$\;{\dfrac {M_{\text{air}}\;g}{R\;T_{0}}}\;z\;$» devient, en divisant haut et bas par $\;{\mathcal {N}}$, «$\;{\dfrac {m_{\text{air}}\;g}{k_{B}\;T_{0}}}\;z\;$» et permet de réécrire le champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air selon

«$\;N_{V}(z)=N_{V,\,0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{\text{air}}\;g}{k_{B}\;T_{0}}}\;z\right)=N_{V,\,0}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{\text{air}}\;g\;z}{k_{B}\;T_{0}}}\right)\;$» dans lequel,

• «$\;m_{\text{air}}\;g\;z\;$» représente l'« énergie potentielle de pesanteur $\;\varepsilon _{\text{pes}}(z)\;$ d'une molécule d'air située à l'altitude $\;z\;$» $\;{\big (}$sa référence étant choisie à l'altitude nulle${\big )}\;$ et
• «$\;k_{B}\;T_{0}\;$ l'énergie d'échelle de la variation de la densité volumique moléculaire de l'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire la variation d'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule d'air située à l'altitude $\;z\;$ pour laquelle la densité volumique moléculaire locale est divisée par la « constante de Neper $\;e\simeq 2,71828\simeq 2,72\;$»${\big )}$,

     soit la réécriture du champ de densité volumique moléculaire des molécules d'air dans le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme à la température $\;T_{0}\;$ soumis à un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme en équilibre thermodynamique dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen selon

«$\;N_{V}\!\left[\varepsilon _{\text{pes}}(z)\right]=N_{V,\,0}\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$»

     ce qui définit la répartition volumique statistique des molécules d'air de l'atmosphère terrestre quand elles sont en équilibre thermodynamique à la température fixée $\;T_{0}\;$ suivant leur « énergie potentielle de pesanteur individuelle $\;\varepsilon _{\text{pes}}(z)\;$».

Notion de facteur de Boltzmann de l'atmosphère isotherme en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et interprétation

     Comme nous venons de l'établir précédemment « dans le modèle de l'atmosphère terrestre en équilibre isotherme à la température $\;T_{0}\;$ dans le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}=-g\;{\vec {u}}_{z}\;$ uniforme, modèle de G.P. composé de molécules identiques de masse $\;m_{\text{air}}$, macroscopiquement immobiles dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{♁}}\;$ galiléen, pouvant occuper individuellement les niveaux d'énergie mécanique macroscopique $\;\varepsilon _{\text{pes}}(z)=m_{\text{air}}\;g\;z\;$ quand elles sont à l'altitude $\;z\;$», les molécules d'air se répartissent selon

une densité volumique moléculaire $\;\propto \;$ au facteur «$\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$»,
ce facteur étant appelé « facteur de Boltzmann de l'atmosphère isotherme »,

     c'est-à-dire le « facteur de Boltzmann d’un système de molécules en équilibre thermodynamique à la température $\;T_{0}\;$», « chaque molécule pouvant individuellement occuper les niveaux d'énergie $\;\varepsilon _{\text{pes}}(z)\;$».

     Remarques : $\succ \;$ Le nombre de molécules présentes dans un « cylindre élémentaire de section droite d'aire $\;S\;$ à l'altitude $\;z\;$ et de hauteur $\;dz\;$» s'évalue selon «$\;dN(z)=N_{V}(z)\;S\;dz\;$ ou encore $\;dN(z)=$ $N_{V,\,0}\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,S\;dz\;$» soit, avec «$\;N_{V,\,0}\;S\;dz\;$ représentant le nombre de molécules présentes dans un cylindre élémentaire de même volume mais situé au niveau du sol noté $\;dN(0)\;$»,

«$\;dN(z)=dN(0)\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$» d'où

           Remarques : l'expression du « nombre relatif de molécules situées à l'altitude $\;z\;$ par rapport à celui des molécules situées au niveau du sol »

«$\;{\dfrac {dN(z)}{dN(0)}}=\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$» c'est-à-dire
une signification quantitative du facteur de Boltzmann ;

           Remarques : le facteur de Boltzmann traduit donc l'occupation relative des niveaux d’énergie, plus ce facteur est petit, plus faible est le nombre de molécules occupant le niveau d’énergie correspondant.

     Remarques : $\succ \;$ Supposant connu le nombre total de molécules présentes dans un « cylindre de section droite d'aire $\;S$, de base au niveau du sol et de hauteur infinie » «$\;N_{\text{tot}}=\displaystyle \int _{z\,=\,0}^{z\,=\,+\infty }dN(z)\;$ » soit, avec $\;dN(z)=N_{V,\,0}\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,S\;dz\;$», «$\;N_{\text{tot}}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }N_{V,\,0}\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,S\;dz=N_{V,\,0}\;S\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz\;$ » $\Rightarrow$ «$\;N_{V,\,0}\;S={\dfrac {N_{\text{tot}}}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}}\;$ » d'où la réécriture du nombre de molécules présentes dans un « cylindre élémentaire de section droite d'aire $\;S\;$ à l'altitude $\;z\;$ et de hauteur $\;dz\;$»

«$\;dN(z)={\dfrac {N_{\text{tot}}\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}}\;$ » d'où
la proportion relative de molécules se trouvant à l'altitude $\;z\;$ à $\;dz\;$ près
«$\;{\dfrac {dN(z)}{N_{\text{tot}}}}={\dfrac {\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}}\;$ »,

           Remarques : cette proportion traduisant aussi la « probabilité pour qu'une molécule du cylindre de section droite d'aire $\;S$, de base au niveau du sol et de hauteur infinie soit à l'altitude${\underline {\;z}}$ à${\underline {\;dz}}$ près »

«$\;d{\mathcal {P}}(z)={\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(z)\;dz\;$» avec
«$\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(z)={\dfrac {\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}}\;$
la densité linéique de probabilité d'altitude $\;z\;$» ;

           Remarques : conséquence : de «$\;{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(z)={\dfrac {\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}}\;$ » nous déduisons que le facteur de Boltzmann définit la « densité linéique de probabilité pour qu'une molécule ait l'énergie potentielle de pesanteur${\underline {\;\varepsilon _{\text{pes}}(z)}}\;$» au « facteur de normalisation $\;{\dfrac {1}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{\text{pes}}(z)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\,dz}}\;$ près » $\;{\bigg \{}$le facteur de normalisation étant nécessaire pour que la probabilité sur le cylindre complet, à savoir «$\;\displaystyle \int _{z\,=\,0}^{z\,=\,+\infty }{\mathcal {P}}_{\mathit {l}}(z)\;dz\;$», soit « égale à $\;1\;$»${\bigg \}}$.

À retenir pour une meilleure compréhension de la notion de « facteur de Boltzmann »

     Le facteur de Boltzmann du modèle de l'atmosphère terrestre en équilibre isotherme à la température${\underline {\;T_{0}\;}}$dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, modèle de G.P. composé de molécules identiques macroscopiquement immobiles dans le référentiel terrestre galiléen, est, à un facteur constant de normalisation près, la « densité linéique de probabilité de présence d'une molécule de ce modèle de niveau d'énergie mécanique macroscopique${\underline {\;\varepsilon _{\text{pes}}(z)\;}}$en équilibre à la température${\underline {\;T_{0}}}\;$».

Généralisation (admise) de la notion de facteur de Boltzmann à un système d'entités en équilibre à une température fixée

Début d’un théorème

Notion de facteur de Boltzmann d'un système d'entités en équilibre à une température fixée

     Des entités qui peuvent individuellement occuper des niveaux d’énergie «$\;\varepsilon \;$», se répartissent, dès lors qu'elles constituent un système en équilibre thermodynamique à la température $\;T_{0}$, proportionnellement au « facteur de Boltzmann $\;\exp \!\left(-{\dfrac {\varepsilon }{k_{B}\;T_{0}}}\right)\;$» dans lequel
«$\;k_{B}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$ est la constante de Boltzmann » et
«$\;k_{B}\;T_{0}\;$ l'énergie d'échelle de variation de la densité volumique entitaire du système en équilibre thermodynamique à la température $\;T_{0}\;$».

Fin du théorème

     Remarque : Dans l'énoncé précédent, une entité peut être une molécule, un ion, un atome, une particule élémentaire ou tout assemblage microscopique individuel pouvant se retrouver à constituer un système macroscopique ou mésoscopique d'individualités en équilibre thermodynamique à une certaine température $\;\ldots$

1^er autre exemple, molécules libres confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide et en équilibre à une température donnée, répartition statistique de Maxwell-Boltzmann

Facteur de Boltzmann d'un système de molécules libres confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide et en équilibre à une température donnée

     Considérons un système de molécules identiques, de masse individuelle $\;m$, libres, macroscopiquement immobiles et confinées dans une expansion tridimensionnelle rigide liée à un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen et
     sachant qu'une molécule quelconque de vecteur vitesse d'agitation thermique à un instant quelconque $\;{\vec {V}}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ tel que $\;\Vert {\vec {V}}(t)\Vert =V(t)\ll c\;$ $\Rightarrow$ l'applicabilité de la cinétique classique, a, pour seule énergie non nulle, son « énergie cinétique microscopique d'agitation thermique $\;\varepsilon (V)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V^{2}\;$», nous admettons que

     les molécules de niveaux individuels d'énergie «$\;\varepsilon (V)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V^{2}\;$», se répartissent, dès lors qu'elles constituent un système en équilibre thermodynamique à la température $\;T_{0}$,

proportionnellement au « facteur de Boltzmann $\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon (V)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]=\exp \!\left[-{\dfrac {m\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$»
dans lequel «$\;k_{B}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$ est la constante de Boltzmann » et
«$\;k_{B}\;T_{0}\;$ l'énergie d'échelle de variation de la densité volumique moléculaire du système en équilibre thermodynamique à la température $\;T_{0}\;$».

Interprétation du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée

     Préliminaire : Le « système de molécules libres confinées dans une étendue tridimensionnelle de volume fixé » constitue un « système dynamique classique $\;{\big (}$au sens de “ non quantique ”${\big )}\;$ à $\;3\;N\;$ degrés de liberté » $\;{\big (}N\;$ étant le nombre de molécules de l'étendue tridimensionnelle de volume fixé${\big )}$ ;

     Préliminaire : si le « système de molécules libres confinées dans une étendue tridimensionnelle de volume fixé » est « en équilibre thermodynamique à une température donnée », le nombre de degré de liberté du « système dynamique classique $\;{\big (}$au sens de “ non quantique ”${\big )}\;$» à l'échelle macroscopique se réduit à « trois » ;

     Préliminaire : pour décrire un « système dynamique classique $\;{\big (}$au sens de “ non quantique ”${\big )}\;$» à « trois degrés de liberté », il est nécessaire de définir six « variables dynamiques du système » $\;{\big [}$le nombre de « variables dynamiques » étant le double du nombre de degré de liberté du « système dynamique classique $\;{\big (}$au sens de “ non quantique ”${\big )}\;$»${\big ]}$, ce sont trois « variables descriptives d'état » $\;{\big (}$caractérisant l'état du système à un instant donné${\big )}\;$ ainsi que trois « variables de modification d'état » $\;{\big (}$permettant de prévoir l'état du système à un instant ultérieur${\big )}\;$ et pour concrétiser cela

          Préliminaire : pour décrire un « système dynamique classique $\;\color {transparent}{\big (}$au sens de “ non quantique ”$\color {transparent}{\big )}\;$» à « trois degrés de liberté », on définit « l'espace des phases du système dynamique classique $\;{\big (}$au sens de “ non quantique ”${\big )}\;$», espace vectoriel à six dimensions dont chaque élément a pour composantes les trois « variables descriptives d'état » $\;{\big (}$caractérisant l'état du système à un instant donné${\big )}\;$ ainsi que les trois « variables de modification d'état » $\;{\big (}$permettant de prévoir l'état du système à un instant ultérieur${\big )}\;$ mais $\;\ldots$

     Préliminaire : pour la description des niveaux d'énergie des entités du « système de molécules libres confinées dans une étendue tridimensionnelle de volume fixé en équilibre thermodynamique à une température donnée », seules les trois « variables de modification d'état » $\;{\big (}$permettant de prévoir l'état du système à un instant ultérieur${\big )}\;$ $\;{\big [}$c'est-à-dire les trois composantes du vecteur vitesse de la molécule considérée${\big ]}\;$ sont à prendre en compte, et par suite, seul le sous-espace de l'espace des phases de ce système dynamique classique $\;{\big (}$au sens de “ non quantique ”${\big )}\;$» formé à partir de ces trois « variables de modification d'état » est utilisé, ce sous-espace de dimension trois étant appelé « espace des vitesses ».

     Interprétation du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée : ce facteur de Boltzmann permet de définir « la probabilité pour qu'une molécule du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée ait pour vecteur vitesse une valeur fixée $\;{\vec {V}}\;$ de l'espace des vitesses à $\;d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$ près c'est-à-dire $\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})\;$» soit, en restant dans le cadre de la cinétique newtonienne, selon

«$\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})\propto \exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$» avec
«$\;m_{p}\;$ la masse d'une molécule » et «$\;T_{0}\;$ la température d'équilibre »,
«$\;k_{B}={\dfrac {R}{\mathcal {N}}}\simeq 1,381\;10^{-23}\;J\cdot K^{-1}\;$ étant la constante de Boltzmann »
soit encore «$\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})=K\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$»
avec «$\;K\;$ constante de normalisation définie par $\;\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})=1\;$»,
«$\;{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$ étant l'expansion tridimensionnelle de l'espace des vitesses utilisée par les molécules du système »
c'est-à-dire «$\;K={\dfrac {1}{\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}}\;$» d'où
«$\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})={\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}}\;$» ;

           Interprétation du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée : « la probabilité pour qu'une molécule du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée ait pour vecteur vitesse une valeur fixée $\;{\vec {V}}\;$ de l'espace des vitesses à $\;d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$ près c'est-à-dire $\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})\;$» s'identifie, par utilisation de la loi des grands nombres de la statistique, à la « proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour valeur fixée $\;{\vec {V}}\;$ de l'espace des vitesses à $\;d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$ près c'est-à-dire $\;d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})\;$ relativement au nombre total $\;N\;$ de molécules confinées c'est-à-dire $\;{\dfrac {d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})}{N}}\;$ » soit

«$\;{\dfrac {d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})}{N}}={\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}}\;$ ».

Conséquence de l'« isotropie du facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée »

     Le facteur de Boltzmann du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée ne dépendant que de la norme du vecteur vitesse et non de sa direction, il y a « isotropie de la répartition des vecteurs vitesses » $\;{\big (}$c'est-à-dire équiprobabilité des directions des vecteurs vitesses${\big )}\;$ et le choix d’un repérage sphérique de l’espace des vitesses est bien adapté soit «$\;d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}$ $=V^{2}\;dV\;\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}\;$» dans lequel «$\;d{\vec {V}}=dV\;{\vec {u}}_{r_{v}}+V\;d\theta _{v}\;{\vec {u}}_{\theta _{v}}+V\;\sin(\theta _{v})\;d\varphi _{v}\;{\vec {u}}_{\varphi _{v}}\;$», ce qui permet de réécrire la « proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour valeur fixée $\;{\vec {V}}\;$ de l'espace des vitesses à $\;d^{3}{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}\;$ près c'est-à-dire $\;d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})\;$ relativement au nombre total $\;N\;$ de molécules confinées » selon

«$\;{\dfrac {d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})}{N}}=K\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}\;$ » avec
«$\;K={\dfrac {1}{\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}}}\;$ constante de normalisation »
$\Downarrow$
«$\;{\dfrac {d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})}{N}}={\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}}{\displaystyle \iiint \limits _{{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}}}\;$ »,
cette répartition statistique des vitesses étant connue sous le nom de « répartition de Maxwell-Boltzmann » ;

     de cette répartition statistique des vitesses du système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée, on en déduit, en intégrant sur toutes les directions possibles du vecteur vitesse des molécules du système, la « proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour norme fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près c'est-à-dire $\;dN_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)\;$ relativement au nombre total $\;N\;$ de molécules confinées » selon

«$\;{\dfrac {dN_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)}{N}}=\displaystyle \iint \limits _{{\text{dir. de }}{\vec {V}}}^{\text{toutes les}}{\dfrac {d^{3}N_{{\text{à }}d{\mathcal {V}}_{\text{esp. vit.}}{\text{ près}}}({\vec {V}})}{N}}=\displaystyle \iint \limits _{{\text{dir. de }}{\vec {V}}}^{\text{toutes les}}K\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{\vec {V}}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}\;$
                                                                                                            $\;=K\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\left\lbrace \displaystyle \iint \limits _{{\text{dir. de }}{\vec {V}}}^{\text{toutes les}}\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}\right\rbrace dV\;$» avec
                                                «$\;K={\dfrac {1}{\displaystyle \int _{V'\,=\,0}^{V'\,=\,{\frac {c}{10}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\left\lbrace \displaystyle \iint \limits _{{\text{dir. de }}{\vec {V}}}^{\text{toutes les}}\sin(\theta _{v})\;d\theta _{v}\;d\varphi _{v}\right\rbrace dV'}}\;$ constante de normalisation »
$\Downarrow$
«$\;{\dfrac {dN_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)}{N}}={\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV}{\displaystyle \int _{V'\,=\,0}^{V'\,=\,{\frac {c}{10}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\;dV'}}\;$» ;

     de la proportion de molécules dont le vecteur vitesse a pour norme fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près relativement au nombre total de molécules confinées on en déduit, par identification, conséquence de la validité de la loi des grands nombres, la « probabilité pour qu'une molécule du système ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près c'est-à-dire $\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)\;$» soit, en restant dans le cadre de la cinétique newtonienne,

«$\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)={\dfrac {\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV}{\displaystyle \int _{V'\,=\,0}^{V'\,=\,{\frac {c}{10}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\;dV'}}\;$»

     dont on déduit la « densité de probabilité par unité de vitesse pour qu'une molécule du système ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$»

«$\;{\mathcal {P}}_{\text{unité de vit.}}(V)={\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)}{dV}}=K'\;V^{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\;$
avec $\;K'={\dfrac {1}{\displaystyle \int _{V'\,=\,0}^{V'\,=\,{\frac {c}{10}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\;dV'}}\;$».

     Détermination de la constante${\underline {\;K'}}$ : «$\;{\dfrac {1}{K'}}=\displaystyle \int _{V'\,=\,0}^{V'\,=\,{\frac {c}{10}}}\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\;dV'\;$» se réécrit dans la pratique, «$\;{\dfrac {1}{K'}}\simeq \displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\;dV'\;$» compte-tenu du fait qu'« il n’y a pas de molécules à vitesse relativiste $\Rightarrow$ $\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;{V'}^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,{V'}^{2}\simeq 0,\;\;\forall \;V'\,>\,{\dfrac {c}{10}}\;$» ou,
     Détermination de la constante$\;\color {transparent}{K'}$ : en posant «$\;\zeta ={\sqrt {\dfrac {m_{p}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}}\;V'\;$ $\Rightarrow$ $\;d\zeta ={\sqrt {\dfrac {m_{p}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}}\;dV'\;$», «$\;{\dfrac {1}{K'}}\simeq \left({\dfrac {2\;k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,{\zeta }^{2}\;d\zeta \;$» nécessitant de calculer l'« intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,{\zeta }^{2}\;d\zeta \;$ » ou, après une 1^ère I.p.p., «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[-\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,2\;\zeta \right]\,\left(-{\dfrac {\zeta }{2}}\right)\;d\zeta ={\cancel {\left[\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,\left(-{\dfrac {\zeta }{2}}\right)\right]_{0}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,\left(-{\dfrac {1}{2}}\right)\,d\zeta ={\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,d\zeta \;$ » c'est-à-dire «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,{\zeta }^{2}\;d\zeta ={\dfrac {1}{4}}\,\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,d\zeta \;$ » ${\bigg \{}$cette dernière intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,d\zeta \;$ connue sous le nom d'intégrale de Gauss est égale à $\;{\sqrt {\pi }}\;$»${\bigg \}}$ d'où «$\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,{\zeta }^{2}\;d\zeta$ $={\dfrac {1}{4}}\,\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,d\zeta ={\dfrac {\sqrt {\pi }}{4}}\;$ » ;
     Détermination de la constante$\;\color {transparent}{K'}$ : nous en déduisons «$\;{\dfrac {1}{K'}}\simeq \left({\dfrac {2\;k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\exp \!\left(-\zeta ^{2}\right)\,{\zeta }^{2}\;d\zeta =\left({\dfrac {2\;k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\dfrac {\sqrt {\pi }}{4}}\;$» ou «$\;{\dfrac {1}{K'}}\simeq \left({\dfrac {k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {\pi }{2}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;K'\simeq \left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;$».

     Conclusion : La « proportion de molécules libres confinées, de masse individuelle $\;m_{p}$, dans une étendue de volume fixé, en équilibre à une température $\;T_{0}\;$ donnée, dont le vecteur vitesse a pour norme fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près c'est-à-dire $\;dN_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)\;$ relativement au nombre total $\;N\;$ de molécules confinées » s'écrit

diagramme de densité de probabilité par unité de vitesse pour qu'une molécule libre de dihydrogène confinée dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température $\;T_{0}$, ait pour norme de vecteur vitesse $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ fixée, tracé en fonction de $\;V\;$»

«$\;{\dfrac {dN_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)}{N}}=\left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;$»,

     Conclusion : c'est aussi, compte-tenu de l'utilisation de la loi des grands nombres, la « probabilité pour qu'une molécule libre confinée, de masse individuelle $\;m_{p}$, dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température $\;T_{0}$, ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près c'est-à-dire $\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)\;$» soit

«$\;d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)=\left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;dV\;$»,

     Conclusion : dont on déduit la « densité de probabilité par unité de vitesse pour qu'une molécule libre confinée, de masse individuelle $\;m_{p}$, dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température $\;T_{0}$, ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$»

«$\;{\mathcal {P}}_{\text{unité de vit.}}(V)={\dfrac {d{\mathcal {P}}_{{\text{à }}dV{\text{ près}}}(V)}{dV}}=\left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;$»
voir ci-contre pour des molécules de dihydrogène en équilibre à $\;20\;{\text{°C}}$, « la vitesse la plus probable étant $\;1550\;m\cdot s^{-1}\;$».

Commentaires

     Dans l’exemple de l’atmosphère isotherme,
     dans le « 2^ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée » ainsi que
     dans le « 3^ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée »,
     les systèmes dépendent d’un « seul paramètre », la répartition des entités se fait proportionnellement au facteur de Boltzmann et comme ce dernier est maximal quand l’énergie individuelle de l'entité est minimale, c’est le niveau fondamental $\;{\big (}$c'est-à-dire le niveau où l’énergie individuelle est la plus faible${\big )}\;$ qui est le plus peuplé.

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, de masse individuelle $\;m_{p}$, confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée, car la « proportion de molécules libres confinées dont le vecteur vitesse a pour norme fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près relativement au nombre total de molécules confinées » s'identifiant à la « probabilité pour qu'une molécule libre confinée ait pour norme de vecteur vitesse une valeur fixée $\;V=\Vert {\vec {V}}\Vert \;$ de l'espace des vitesses à $\;dV\;$ près » et la densité de probabilité par unité de vitesse associée étant maximale pour la vitesse la plus probable $\;V_{\text{la plus probable}}$ $\;{\big (}$voir diagramme du paragraphe précédent${\big )}\;$ à laquelle s'associe l'énergie cinétique individuelle $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\text{la plus probable}}^{\,2}$, nous vérifions bien que l'état fondamental $\;{\big \{}$d'énergie cinétique individuelle nulle${\big \}}\;$ n'est pas le plus peuplé, « ce dernier étant l'état où les molécules ont l'énergie cinétique individuelle $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\text{la plus probable}}^{\,2}\;$» ;

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, l'une des raisons pour laquelle cette prorpriété n'est plus valable est que le système de molécules libres confinées dans une étendue de volume fixé en équilibre à une température donnée dépend de « trois paramètres » à savoir $\;\left(V_{x}^{2}\,,\,V_{y}^{2}\,,\,V_{z}^{2}\right)$ $\;{\bigg \{}$ou $\;\left({\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{x}^{2}\,,\,{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{y}^{2}\,,\,{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{z}^{2}\right)\!{\bigg \}}\;$ et par suite que « des états distints différents $\;{\big \{}$c'est-à-dire à triplet ordonné de paramètres $\;\left(V_{x}^{2}\,,\,V_{y}^{2}\,,\,V_{z}^{2}\right)$ différents${\big \}}\;$ peuvent correspondent à un même niveau d'énergie cinétique individuelle $\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V^{2}\;$» $\;{\big \{}$quand un même niveau d'énergie correspond à des états distincts différents on dit que « ce niveau d'énergie est dégénéré »${\big \}}$ ;

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, pour déterminer le peuplement des niveaux d’énergie, il faut tenir compte

• du « facteur de Boltzmann $\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\;$ qui $\;\searrow \;$ quand $\;V^{2}\nearrow \;$» mais aussi
• du « degré de dégénérescence du niveau d'énergie $\;{\big (}$caractérisé par le nombre d’états correspondant au niveau d’énergie envisagé${\big )}\;$ qui $\;\nearrow \;$ quand $\;V^{2}\nearrow \;$» et

     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, on remarque que « la répartition commence par${\underline {\;\nearrow \;}}$à partir du niveau fondamental car la $\;\nearrow \;$ du degré de dégénérescence des niveaux d’énergie prédomine sur la $\;\searrow \;$ du facteur de Boltzmann » puis
     Par contre cette propriété n'est plus valable dans le cas du système de molécules libres, on remarque que « la répartition${\underline {\;\searrow \;}}$à partir du niveau associé à la vitesse la plus probable${\underline {\;V_{\text{la plus probable}}}}\;$ correspondant à une $\;\searrow \;$ du facteur de Boltzmann prédominante sur la $\;\nearrow \;$ du degré de dégénérescence des niveaux d’énergie » $\;{\big (}$voir diagramme du paragraphe précédent${\big )}$.

     Détermination de la vitesse la plus probable d'un système de molécules libres, de masse individuelle${\underline {\;m_{p},\;}}$confinées dans une étendue de volume fixé, en équilibre à la température${\underline {\;T_{0}}}$ : « la vitesse la plus probable $\;V_{\text{la plus probable}}\;$ d'une molécule du système étudié » étant définie par «$\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{\text{unité de vit.}}}{dV}}(V_{\text{la plus probable}})=0\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{\text{unité de vit.}}(V)=\left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V^{2}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\mathcal {P}}_{\text{unité de vit.}}}{dV}}(V)$ $=\left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,\left\lbrace -{\dfrac {m_{p}\;2\;V}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\;V^{2}+2\;V\right\rbrace =\left({\dfrac {m_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right)^{\!{\frac {5}{2}}}\,{\sqrt {\dfrac {2}{\pi }}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {m_{p}\;V^{2}}{2\;k_{B}\;T_{0}}}\right)\,V\,\left\lbrace -V^{2}+2\;{\dfrac {k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}\right\rbrace \;$» s'annulant pour $\;V^{2}={\dfrac {2\;k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}\;$ d'où

«$\;V_{\text{la plus probable}}={\sqrt {\dfrac {2\;k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}}\;$»
$\Updownarrow$
«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\text{la plus probable}}^{\,2}=k_{B}\;T_{0}\;$»,
«$\;k_{B}\;T_{0}\;$ étant l'énergie d'échelle du système » ;

     Détermination de la vitesse la plus probable d'un système de molécules libres, pour un système de molécules de dihydrogène en équilibre à $\;20\;{\text{°C}}$, l'énergie d'échelle vaut «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 293$ $\simeq 4,04\;10^{-21}\;J\simeq 25,2\;meV\;$» d'où l'énergie cinétique d'une molécule ayant la vitesse la plus probable «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{p}\;V_{\text{la plus probable}}^{\,2}\simeq 25,2\;meV\simeq 4,04\;10^{-21}\;J\;$» soit, connaissant la masse d'une molécule de dihydrogène $\;m_{p}\simeq 3,32\;10^{-27}\;kg$, «$\;V_{\text{la plus probable}}={\sqrt {\dfrac {2\;k_{B}\;T_{0}}{m_{p}}}}\simeq {\sqrt {\dfrac {2\times 4,04\;10^{-21}}{3,32\;10^{-27}}}}\simeq 1560\;m\cdot s^{-1}\;$».

2^ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée, influence de la température sur la possibilité de conformation d'une molécule dans une expérience

2^ème autre exemple, molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée

Profil d'énergie d'une molécule à isomères de conformation différents en fonction du paramètre $\;\alpha \;$ de conformation

     Considérons le profil d'énergie d'un type de molécules possédant différents isomères de conformation $\;{\big (}$ou conformères${\big )}\;$ possibles $\;{\big [}$c'est-à-dire la courbe de variation d’énergie potentielle de ce type de molécules à conformères différents en fonction du paramètre caractérisant l'isomère de conformation considéré $\;{\big (}$paramètre dit « de conformation »${\big )}{\big ]}$,
     Considérons le profil d'énergie le paramètre « de conformation » sur le profil ci-contre étant le « paramètre angulaire $\;\alpha \;$» ;

     Considérons le profil d'énergie parmi tous les conformères possibles considérons les extrêmes :

• «$\;\left(1\right)\;$ le plus stable » d'énergie potentielle de conformation «$\;e_{p}(1)\;$» et
• «$\;\left(2\right)\;$ le moins stable » d'énergie potentielle de conformation «$\;e_{p}(2)>e_{p}(1)\;$»,

     Considérons le profil d'énergie la différence des niveaux d’énergie «$\;e_{p}(2)-e_{p}(1)\;$ étant notée $\;\Delta e_{p}>0\;$» ;

     La densité volumique de conformères d'« énergie potentielle de conformation $\;e_{p}(\alpha )\;$» $\;{\big (}\alpha \;$ étant le paramètre de conformation du conformère considéré${\big )}\;$ du système de molécules sous conformations différentes confinées dans une étendue de volume fixé et en équilibre à la température $\;T_{0}\;$ étant $\;\propto \;$ au « facteur de Boltzmann correspondant à savoir $\;\exp \!\left[-{\dfrac {e_{p}(\alpha )}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$» s'écrit

«$\;N_{V}(\alpha )=K\;\exp \!\left[-{\dfrac {e_{p}(\alpha )}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$»,
$\;K\;$ étant un facteur dépendant de la quantité totale de molécules et du volume de l'étendue ;                                                                                          

     nous en déduisons la proportion de conformères les plus stables relativement aux conformères les moins stables en faisant le rapport des densités volumiques correspondant soit

«$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}={\dfrac {K\;\exp \!\left[-{\dfrac {e_{p}(1)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]}{K\;\exp \!\left[-{\dfrac {e_{p}(2)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]}}=\exp \!\left[{\dfrac {e_{p}(2)-e_{p}(1)}{k_{B}\;T_{0}}}\right]=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]>1\;$ car $\;\Delta e_{p}\;$ est $\;>0\;$»,
montrant que le niveau $\;(1)\;$ des conformères les plus stables est plus peuplé que le niveau $\;(2)\;$ des conformères les moins stables.

Influence de la température sur la possibilité de conformation d'une molécule dans une expérience

     Supposons que la « différence de niveaux d'énergie potentielle de conformation entre le conformère le plus stable $\;(1)\;$ et le moins stable $\;(2)\;$ soit $\;\Delta e_{p}=1,00\;eV\;$», nous nous proposons d'étudier l'influence de la température $\;T_{0}\;$ sur le peuplement de ces deux niveaux en utilisant la propriété suivante

« plus la température $\;T_{0}\;$ est élevée, moins l'argument $\;{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\;$ de l'exponentielle l'est et moins le rapport des densités volumiques $\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$ l'est »
$\Downarrow$
moins la surpopulation du conformère le plus stable $\;(1)\;$ est élevée relativement au moins stable $\;(2)\;$» :

     $\;\succ \;$à température ordinaire $\;\theta _{0}=20\;{\text{°C}}\;$ c'est-à-dire «$\;T_{0}\simeq 293\;K\;$», l’énergie d’échelle valant «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 293\simeq 4,04\;10^{-21}\;J\simeq 25,2\;meV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {1,00}{25,2\;10^{-3}}}\simeq 39,6\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(39,6\right)\simeq 1,58\;10^{17}\ggg 1\;$» d'où la conclusion

« on peut négliger les conformères les moins stables $\;(2)\;$ relativement aux plus stables $\;(1)\;$ à température ordinaire » ;

     $\;\succ \;$à haute température $\;\theta _{0}=1000\;{\text{°C}}\;$ c'est-à-dire «$\;T_{0}\simeq 1273\;K\;$», l’énergie d’échelle valant «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 1273\simeq 1,76\;10^{-20}\;J\simeq 110\;meV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {1,00}{110\;10^{-3}}}\simeq 9,09\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta e_{p}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(9,09\right)\simeq 8,87\;10^{3}\simeq 10^{4}\gg 1\;$» d'où la conclusion

« bien que largement minoritaires les conformères les moins stables $\;(2)\;$ relativement aux plus stables $\;(1)\;$ restent en quantité notable à haute température ».

   Conséquence : Si une réaction entre cette molécule et d'autres réactifs se fait avec le conformère le moins stable $\;(2)\;$ mais est bloquée avec le conformère le plus stable $\;(1)$, nous en déduisons que

« cette réaction ne pourra se produire qu'à haute température » par absence de conformères $\;(2)\;$ à température ordinaire.

3^ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée, influence de la température sur la possibilité d'excitation thermique d'un atome dans une expérience

3^ème autre exemple, atomes sous niveaux d'énergie différents confinés dans une étendue de volume fixé et en équilibre à une température donnée

     Considérons le profil d'énergie des atomes d'hydrogène $\;{\big (}$non représenté${\big )}$, les niveaux d’énergie mécanique $\;{\big (}$d'interaction électron - noyau${\big )}\;$ étant quantifiés de valeur «$\;\varepsilon _{n}={\dfrac {\varepsilon _{1}}{n^{2}}}\;\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$» où l’énergie du niveau fondamental vaut «$\;\varepsilon _{1}=-13,6\;eV\;$» $\;{\big \{}$la quantification des niveaux d'énergie conduit à un profil d'énergie $\;{\big [}$c'est-à-dire la courbe de variation d’énergie mécanique des atomes d'hydrogène en fonction du « nombre quantique principal $\;n\;$»${\big ]}\;$ composé de raies, le « nombre quantique principal $\;n\;$» étant le paramètre « d'excitation » des atomes, en abscisse sur le profil d'énergie $\;{\big (}$non représenté${\big )}\!{\big \}}$ ;

     Considérons le profil d'énergie des atomes d'hydrogène, parmi tous les niveaux d'énergie possibles considérons le niveau fondamental et le 1^er niveau excité $\;{\big (}$ci-dessous figure aussi le 2^nd niveau excité pour information${\big )}$ :

• «$\;n=1\;$ niveau fondamental » d'énergie mécanique «$\;\varepsilon _{1}=-13,6\;eV\;$»,
• «$\;n=2\;$ 1^er niveau excité » d'énergie mécanique «$\;\varepsilon _{2}={\dfrac {\varepsilon _{1}}{2^{2}}}\simeq {\dfrac {-13,6\;eV}{4}}\simeq -3,4\;eV\;$» et
• «$\;n=3\;$ 2^nd niveau excité » d'énergie mécanique «$\;\varepsilon _{3}={\dfrac {\varepsilon _{1}}{3^{2}}}\simeq {\dfrac {-13,6\;eV}{9}}\simeq -1,51\;eV\;$» $\;\ldots$

     Considérons le profil d'énergie des atomes d'hydrogène, la différence d'énergie entre le 1^er niveau excité et le niveau fondamental «$\;\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}=\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}\;$ valant $\;-3,4-\left(-13,6\right)\simeq 10,2\;eV\;$».

     La densité volumique d'atomes d'hydrogène au $\;(n-1)^{\text{ème}}\;$ niveau excité d'« énergie $\;\varepsilon _{n}\;\;n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$» du système d'atomes sous tous les états d'excitation possibles dans une étendue de volume fixé et en équilibre à la température $\;T_{0}\;$ étant $\;\propto \;$ au « facteur de Boltzmann correspondant à savoir $\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{n}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$» s'écrit

«$\;N_{V}(n)=K\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{n}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$»,
$\;K\;$ étant un facteur dépendant de la quantité totale d'atomes et du volume de l'étendue ;

     nous en déduisons la proportion d'atomes dans l'état fondamental relativement aux atomes du 1^er niveau excité en faisant le rapport des densités volumiques correspondant soit

«$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}={\dfrac {K\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{1}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]}{K\;\exp \!\left[-{\dfrac {\varepsilon _{2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]}}=\exp \!\left[{\dfrac {\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]>1\;$ car $\;\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}=10,2\;eV\;$ est $\;>0\;$»,
montrant que le niveau fondamental des atomes d'hydrogène est plus peuplé que le 1^er niveau excité.

Influence de la température sur la possibilité d'excitation thermique d'un atome dans une expérience

     Nous nous proposons d'étudier l'influence de la température $\;T_{0}\;$ sur le peuplement du 1^er niveau excité relativement à celui du niveau fondamental en utilisant la propriété suivante

« plus la température $\;T_{0}\;$ est élevée, moins l'argument $\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\;$ de l'exponentielle l'est et moins le rapport des densités volumiques $\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\;$ l'est »
$\Downarrow$
moins la surpopulation du niveau fondamental est élevée relativement au 1^er niveau excité » :

     $\;\succ \;$à température ordinaire $\;\theta _{0}=20\;{\text{°C}}\;$ c'est-à-dire «$\;T_{0}\simeq 293\;K\;$», l’énergie d’échelle valant «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 293\simeq 4,04\;10^{-21}\;J\simeq 25,2\;meV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {10,2}{25,2\;10^{-3}}}\simeq 405\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(405\right)\simeq 7,75\;10^{175}\ggg \!\!\gg 1\;$» d'où la conclusion

« on peut négliger les atomes du 1^er niveau excité relativement à ceux du niveau fondamental à température ordinaire » ;

     $\;\succ \;$à température élevée $\;\theta _{0}=1000\;{\text{°C}}\;$ c'est-à-dire «$\;T_{0}\simeq 1273\;K\;$», l’énergie d’échelle valant «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 1273\simeq 1,76\;10^{-20}\;J\simeq 110\;meV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {10,2}{110\;10^{-3}}}\simeq 92,7\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(92,7\right)\simeq 1,82\;10^{40}\gg \!\!\gg 1\;$» d'où la conclusion

« on peut encore négliger les atomes du 1^er niveau excité relativement à ceux du niveau fondamental à température élevée » ;

     $\;\succ \;$à température très élevée $\;\theta _{0}=6000\;{\text{°C}}\;$ c'est-à-dire «$\;T_{0}\simeq 6273\;K\;$», l’énergie d’échelle valant «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 6273\simeq 8,66\;10^{-20}\;J\simeq 540\;meV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {10,2}{540\;10^{-3}}}\simeq 18,8\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(18,8\right)\simeq 1,46\;10^{8}\gg 1\;$» d'où la conclusion

« bien que largement minoritaires les atomes du 1^er niveau excité relativement à ceux du niveau fondamental sont en quantité très faible mais notable à température très élevée ».

Approche documentaire, reconnaître un facteur de Boltzmann, comparer l’énergie d’échelle « k_BT » dans un contexte général

Document : extrait du livre « Le Monde des Étoiles » par Lucienne Gouguenheim (éditions Hachette Supérieur)

« Le spectre de raies renseigne sur la composition chimique et la température du milieu où sont formées ces raies. » par Lucienne Gouguenheim

     La première condition pour qu'une raie spectrale, caractéristique d'un élément chimique, est évidemment que cet élément chimique soit présent : si on observe les raies de la série de Balmer dans le spectre d'une étoile, cela signifie qu'il existe certainement de l'hydrogène dans cette étoile. Le spectre de raies d'une étoile, ou de tout autre astre, nous renseigne donc sur les divers éléments chimiques présents dans cet astre.

     Cependant le réciproque n'est pas vraie : si l'on n'observe pas les raies d'absorption de la série de Balmer de l'hydrogène dans une étoile, cela ne veut pas dire nécessairement qu'il n'existe pas d'hydrogène dans les couches superficielles de cette étoile. En effet, la formation d'une raie spectrale en absorption correspond au passage d'un atome d'un niveau d'énergie excité au départ à un niveau d'énergie d'arrivée de plus grande énergie. Encore faut-il, pour que la raie puisse se produire, qu'il y ait effectivement des atomes ayant le niveau d'énergie de départ.

     Considérons l'exemple de trois étoiles dont les températures des couches superficielles sont respectivement $\;3000\;K$, $\;8000\;K\;$ et $\;20000\;K$. Dans l'étoile la plus froide, l'agitation thermique n'est pas assez grande pour porter les atomes d'hydrogène au premier niveau excité $\;{\big (}$ni a fortiori aux niveaux supérieurs${\big )}$, tous les atomes d'hydrogène sont donc dans leur niveau fondamental. Considérons maintenant la lumière formée dans les couches plus profondes, donc plus chaudes, de l'étoile qui donne un spectre continu. les photons de longueurs d'onde $\;6562\;{\text{Å}}$, $\;4861\;{\text{Å}}$, $\;4340\;{\text{Å}}\;$, etc. qui correspondent aux raies successives de la série de Balmer $\;H\alpha$, $\;H\beta$, $\;H\gamma$, etc., sont présents dans cette lumière, mais ils ne sont pas absorbés par l'hydrogène des couches superficielles, parce qu'ils ont l'énergie correspondant à la transition du niveau $\;n=2\;$ et un niveau supérieur, et qu'il n'existe pas d'atome d'hydrogène dans ce niveau d'énergie $\;n=2\;$.

     Pour une température plus élevée, l'énergie d'agitation thermique devient suffisante pour qu'un certain nombre d'atomes soit excités dans le niveau $\;n=2\;$ et absorbent les photons correspondant à une raie de Balmer. C'est le cas d'une étoile dont la température superficielle est de l'ordre de $\;8000\;K$, pour laquelle on observe effectivement les raies de la série de Balmer en absorption. Si la température est encore plus élevée, l'énergie d'agitation thermique devient capable d'ioniser l'hydrogène. Pour une température de $\;20000\;K$, l'hydrogène est ionisé dans une très grande proportion : il ne reste plus beaucoup d'atomes d'hydrogène, ces atomes étant par ailleurs répartis dans les divers niveaux excités supérieurs, et les raies de Balmer ne peuvent donc se former.

     À mesure que la température croît, la proportion d'atomes excités au niveau $\;n=2\;$ par rapport au nombre total d'atomes et d'ions commence d'abord par augmenter pour ensuite diminuer. L'intensité des raies de la série de Balmer de l'hydrogène passe par un maximum pour une température voisine de $\;10000\;K$. Cette intensité est donc un indicateur de la température qui règne dans le milieu où les raies se sont formées. En observant le spectre dans la première étoile dans une gamme plus large, qui inclut le domaine ultraviolet, on aurait pu voir les raies de la série de Lyman en absorption, puisqu'elles correspondent à une transition à partir du niveau fondamental.

     En définitive une raie donnée est d'autant plus intense que :

• l'élément chimique caractérisé est plus abondant,
• la proportion d'atomes occupant l'état d'énergie qui correspond au niveau de départ est plus élevé.

     Dans la pratique, il est possible de séparer les deux effets. Si l'on considère plusieurs raies d'un même élément chimique formées à partir de niveaux d'énergie différents, on peut, en comparant les intensités de ces raies, déterminer la température du milieu où elles se forment. Pour une température donnée, une raie donnée est d'autant plus intense que l'élément qui la produit est plus abondant. L'étude des raies d'absorption dans le spectre d'une étoile permet donc de déterminer la température de la région où se produisent des raies et l'abondance des divers éléments chimiques dans l'étoile.

Commentaires du document

     Le but de ces commentaires est d'expliquer comment l’observation $\;{\big (}$ou la non observation${\big )}\;$ du spectre d’absorption des raies de Balmer de l’atome d’hydrogène émises par les couches inférieures d'une étoile, absorption par les couches superficielles de cette étoile, permet de déterminer la température de surface de l'étoile émettrice ;
  Le but de ces commentaires c'est aussi de prolonger cette étude avec le spectre d’absorption des raies de Lyman de l’atome d’hydrogène émises par les couches inférieures d'une étoile, absorption par les couches superficielles de l'étoile en question ;

     pour cela on déterminera l’énergie d'échelle «$\;k_{B}\;T_{0}\;$» suivant la température de surface $\;T_{0}\;$ de l'étoile considérée et
     pour cela on comparera cette énergie d'échelle à la différence de niveau d’énergie entre le 1^er état excité de l’atome d’hydrogène et un p^ème état excité $\;{\Big [}p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace {\Big ]}\;$ pour conclure à la possibilité ou non d’absorber les raies de Balmer émises par les couches inférieures de l'étoile ou
     pour cela on comparera cette énergie d'échelle à la différence de niveau d’énergie entre l'état fondamental de l’atome d’hydrogène et un q^ème état excité $\;{\Big [}q\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\Big ]}\;$ pour conclure à la possibilité ou non d’absorber les raies de Lyman émises par les couches inférieures de l'étoile.

     Énergie d'échelle : $\;\succ \;$À température de surface «$\;T_{0}=3000\;K\;$», l’énergie d’échelle vaut «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 3000\simeq 4,14\;10^{-20}\;J\simeq 258\;meV\simeq 0,26\;eV\;$»,

     Énergie d'échelle : $\;\succ \;$à température de surface «$\;T_{0}=8000\;K\;$», l’énergie d’échelle vaut «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 8000\simeq 1,104\;10^{-19}\;J\simeq 689\;meV\simeq 0,69\;eV\;$» et

     Énergie d'échelle : $\;\succ \;$à température de surface «$\;T_{0}=20000\;K\;$», l’énergie d’échelle vaut «$\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,38\;10^{-23}\times 20000\simeq 2,76\;10^{-19}\;J\simeq 1723\;meV\simeq 1,72\;eV\;$».

     Série de Balmer : Les photons de la série de Balmer de l'atome d'hydrogène correspondant à une transition entre le 1^er niveau excité de l'atome $\;{\big (}n=2{\big )}\;$ et un p^ème niveau excité du même atome $\;{\Big (}n=p+1\;$ avec $\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\Big )}\;$ ont pour énergie

«$\;h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,(p+1)}=\vert \varepsilon _{2}\vert -\vert \varepsilon _{(p+1)}\vert =\vert \varepsilon _{1}\vert \left({\dfrac {1}{2^{2}}}-{\dfrac {1}{(p+1)^{2}}}\right)\;$ avec $\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \;$»

          Série de Balmer : $\;{\bigg [}$«$\;\varepsilon _{1}\simeq -13,60\;eV\;$ étant l'énergie du niveau fondamental », «$\;\varepsilon _{n}={\dfrac {\varepsilon _{1}}{n^{2}}}\;$ l'énergie du (n - 1)^ème niveau excité », «$\;h\simeq 6;626\;10^{-34}\;J\cdot s\simeq 4,136\;10^{-15}\;eV\cdot s\;$ la constante de Planck », «$\;\nu \;$ la fréquence du photon considéré », « sa longueur d'onde étant $\;\lambda ={\dfrac {c}{\nu }}\;$» avec $\;c\simeq 2,998\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ le célérité de la lumière dans le vide${\bigg ]}$ :

          Série de Balmer : $\;\succ \;$la transition entre le 1^er niveau excité $\;{\big (}n=2{\big )}\;$ et le 2^ème $\;{\big (}p+1=3{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,3}\simeq 13,60\times \left({\dfrac {1}{4}}-{\dfrac {1}{9}}\right)\simeq 1,889\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,3}={\dfrac {c}{\nu _{2\,\leftrightarrow \,3}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,3}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{1,889}}\simeq 6,564\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,3}\simeq 6564\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;H\alpha \;$ de la série de Balmer de couleur rouge $\;{\big (}$le texte donnait $\;6562\;{\text{Å}}$, l'écart résultant du nombre de chiffres significatifs choisis${\big )}$ ;

          Série de Balmer : $\;\succ \;$la transition entre le 1^er niveau excité $\;{\big (}n=2{\big )}\;$ et le 3^ème $\;{\big (}p+1=4{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,4}\simeq 13,60\times \left({\dfrac {1}{4}}-{\dfrac {1}{16}}\right)\simeq 2,550\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,4}={\dfrac {c}{\nu _{2\,\leftrightarrow \,4}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,4}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{2,550}}\simeq 4,863\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,4}\simeq 4863\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;H\beta \;$ de la série de Balmer de couleur bleue $\;{\big (}$le texte donnait $\;4861\;{\text{Å}}$, l'écart résultant du nombre de chiffres significatifs choisis${\big )}$ ;

          Série de Balmer : $\;\succ \;$la transition entre le 1^er niveau excité $\;{\big (}n=2{\big )}\;$ et le 4^ème $\;{\big (}p+1=5{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,5}\simeq 13,60\times \left({\dfrac {1}{4}}-{\dfrac {1}{25}}\right)\simeq 2,856\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,5}={\dfrac {c}{\nu _{2\,\leftrightarrow \,5}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,5}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{2,856}}\simeq 4,342\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,5}\simeq 4342\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;H\gamma \;$ de la série de Balmer de couleur bleue $\;{\big (}$le texte donnait $\;4340\;{\text{Å}}$, l'écart résultant du nombre de chiffres significatifs choisis${\big )}$ ;

          Série de Balmer : $\;\succ \;$la transition entre le 1^er niveau excité $\;{\big (}n=2{\big )}\;$ et le 5^ème $\;{\big (}p+1=6{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,6}\simeq 13,60\times \left({\dfrac {1}{4}}-{\dfrac {1}{36}}\right)\simeq 3,022\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,6}={\dfrac {c}{\nu _{2\,\leftrightarrow \,6}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{2\,\leftrightarrow \,6}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{3,022}}\simeq 4,103\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{2\,\leftrightarrow \,5}\simeq 4103\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;H\delta \;$ de la série de Balmer de couleur violette ;

          Série de Balmer : $\;\succ \;$les transitions entre le 1^er niveau excité $\;{\big (}n=2{\big )}\;$ et le p^ème $\;{\big (}p+1\geqslant 7{\big )}\;$ correspondent à des photons ultra-violets donc non visibles $\;\ldots$

     Série de Lyman : Les photons de la Série de Lyman de l'atome d'hydrogène correspondant à une transition entre le niveau fonamental de l'atome $\;{\big (}n=1{\big )}\;$ et un q^ème niveau excité du même atome $\;{\Big (}n=q+1\;$ avec $\;q\,\in \,\mathbb {N} ^{*}{\Big )}\;$ ont pour énergie

«$\;h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,(q+1)}=\vert \varepsilon _{1}\vert -\vert \varepsilon _{(q+1)}\vert =\vert \varepsilon _{1}\vert \left(1-{\dfrac {1}{(q+1)^{2}}}\right)\;$ avec $\;q\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$»

          Série de Lyman : $\;{\bigg [}$«$\;\varepsilon _{1}\simeq -13,60\;eV\;$ étant l'énergie du niveau fondamental », «$\;\varepsilon _{n}={\dfrac {\varepsilon _{1}}{n^{2}}}\;$ l'énergie du (n - 1)^ème niveau excité », «$\;h\simeq 6;626\;10^{-34}\;J\cdot s\simeq 4,136\;10^{-15}\;eV\cdot s\;$ la constante de Planck », «$\;\nu \;$ la fréquence du photon considéré », « sa longueur d'onde étant $\;\lambda ={\dfrac {c}{\nu }}\;$» avec $\;c\simeq 2,998\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ le célérité de la lumière dans le vide${\bigg ]}$ :

          Série de Lyman : $\;\succ \;$la transition entre le niveau fondamental $\;{\big (}n=1{\big )}\;$ et le 1^er niveau excité $\;{\big (}q+1=2{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,2}\simeq 13,60\times \left(1-{\dfrac {1}{4}}\right)\simeq 10,20\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,2}={\dfrac {c}{\nu _{1\,\leftrightarrow \,2}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,2}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{10,20}}\simeq 1,216\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,2}\simeq 1216\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;K\alpha \;$ de la Série de Lyman ultra-violette ;

          Série de Lyman : $\;\succ \;$la transition entre le niveau fondamental $\;{\big (}n=1{\big )}\;$ et le 2^ème niveau excité $\;{\big (}q+1=3{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,3}\simeq 13,60\times \left(1-{\dfrac {1}{9}}\right)\simeq 12,09\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,3}={\dfrac {c}{\nu _{1\,\leftrightarrow \,3}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,3}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{12,09}}\simeq 1,026\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,3}\simeq 1026\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;K\beta _{1}\;$ de la Série de Lyman ultra-violette ;

          Série de Lyman : $\;\succ \;$la transition entre le niveau fondamental $\;{\big (}n=1{\big )}\;$ et le 3^ème niveau excité $\;{\big (}q+1=4{\big )}\;$ correspond à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,4}\simeq 13,60\times \left(1-{\dfrac {1}{16}}\right)\simeq 12,75\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,4}={\dfrac {c}{\nu _{1\,\leftrightarrow \,4}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,4}}}\simeq {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{12,75}}\simeq 0,9725\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,4}\simeq 972,5\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire la raie $\;K\beta _{2}\;$ de la Série de Lyman ultra-violette ;

          Série de Lyman : $\;\succ \;$les transitions entre le niveau fondamental $\;{\big (}n=1{\big )}\;$ et le q^ème niveau excité $\;{\big (}q+1\geqslant 5{\big )}\;$ correspondent à un photon d'énergie «$\;h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,(q+1)}\simeq 13,60\times \left[1-{\dfrac {1}{(q+1)^{2}}}\right]$ $\lesssim 13,60\;eV\;$» $\Rightarrow$ une longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,(q+1)}={\dfrac {c}{\nu _{1\,\leftrightarrow \,(q+1)}}}={\dfrac {h\;c}{h\;\nu _{1\,\leftrightarrow \,(q+1)}}}\gtrsim {\dfrac {4,136\;10^{-15}\times 2,998\;10^{8}}{13,60}}\simeq 0,9117\;10^{-7}\;m\;$ soit «$\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,(q+1)}\gtrsim 911,7\;{\text{Å}}\;$ avec, pour $\;q+1\geqslant 5$, $\;\lambda _{1\,\leftrightarrow \,4}<972,5\;{\text{Å}}\;$» c'est-à-dire des raies de la Série de Lyman toutes ultra-violettes.

     Observation de l'étoile la plus froide $\;{\big (}$température de surface $\;T_{0}=3000\;K{\big )}$ : l'« énergie d'échelle valant $\;k_{B}\;T_{0}\simeq 0,26\;eV\;$» et la « différence entre niveau fondamental et 1^er niveau excité étant $\;\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}\simeq 10,2\;eV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {10,2}{260\;10^{-3}}}\simeq 39,2\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(39,2\right)\simeq 1,06\;10^{17}\ggg 1\;$» c'est-à-dire que le peuplement du 1^er niveau excité de l'atome d'hydrogène dans les couches superficielles de l'étoile est quasi-inexistant, tous les atomes étant en 1^ère approximation dans le niveau fondamental ;

     Observation de l'étoile la plus froide $\;\color {transparent}{\big (}$température de surface $\;\color {transparent}{T_{0}=3000\;K{\big )}}$ : aucun des photons de la série de Balmer émis par les couches profondes de l'étoile ne peut être absorbé par les couches superficielles car il n'y a quasiment pas d'atomes d'hydrogène au 1^er niveau excité dans ces dernières d'où la non observation d'un spectre d'absorption des raies de Balmer mais

     Observation de l'étoile la plus froide $\;\color {transparent}{\big (}$température de surface $\;\color {transparent}{T_{0}=3000\;K{\big )}}$ : tous les photons de la série de Lyman émis par les couches profondes de l'étoile peuvent être absorbés par les couches superficielles de cette dernière car tous les atomes d'hydrogène y sont quasiment au niveau fondamental d'où l'observation d'un spectre d'absorption des raies de Lyman.

     Observation de l'étoile chaude $\;{\big (}$température de surface $\;T_{0}=8000\;K{\big )}$ : l'« énergie d'échelle valant $\;k_{B}\;T_{0}\simeq 0,69\;eV\;$» et la « différence entre niveau fondamental et 1^er niveau excité étant $\;\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}$ $\simeq 10,2\;eV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {10,2}{690\;10^{-3}}}\simeq 14,8\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(14,8\right)\simeq 2,68\;10^{6}\gg 1\;$» c'est-à-dire que le peuplement du 1^er niveau excité de l'atome d'hydrogène dans les couches superficielles de l'étoile y est très réduit, les atomes étant principalement dans le niveau fondamental ;

     Observation de l'étoile chaude $\;\color {transparent}{\big (}$température de surface $\;\color {transparent}{T_{0}=8000\;K{\big )}}$ : peu de photons de la série de Balmer émis par les couches profondes de l'étoile sont absorbés par les couches superficielles car il y a peu d'atomes d'hydrogène au 1^er niveau excité dans ces dernières d'où une observation réduite d'un spectre d'absorption des raies de Balmer et aussi

     Observation de l'étoile chaude $\;\color {transparent}{\big (}$température de surface $\;\color {transparent}{T_{0}=8000\;K{\big )}}$ : quasiment tous les photons de la série de Lyman émis par les couches profondes de l'étoile peuvent être absorbés par les couches superficielles de cette dernière car tous les atomes d'hydrogène y sont principalement au niveau fondamental d'où l'observation d'un spectre d'absorption des raies de Lyman.

     Observation de l'étoile la plus chaude $\;{\big (}$température de surface $\;T_{0}=20000\;K{\big )}$ : l'« énergie d'échelle valant $\;k_{B}\;T_{0}\simeq 1,72\;eV\;$» et la « différence entre niveau fondamental et 1^er niveau excité étant $\;\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}\simeq 10,2\;eV\;$» nous en déduisons «$\;{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\simeq$ ${\dfrac {10,2}{1,72}}\simeq 5,93\;$» soit «$\;{\dfrac {N_{V}(1)}{N_{V}(2)}}=\exp \!\left[{\dfrac {\Delta \varepsilon _{1\,\rightarrow \,2}}{k_{B}\;T_{0}}}\right]\simeq \exp \!\left(5,93\right)\simeq 376\gg 1\;$» c'est-à-dire que le peuplement du 1^er niveau excité de l'atome d'hydrogène dans les couches superficielles de l'étoile est notable, les atomes dans le niveau fondamental y étant néanmoins nettement plus nombreux ;

     Observation de l'étoile la plus chaude $\;\color {transparent}{\big (}$température de surface $\;\color {transparent}{T_{0}=20000\;K{\big )}}$ : les photons de la série de Balmer émis par les couches profondes de l'étoile peuvent être absorbés par les couches superficielles car il y a une qunatité notable d'atomes d'hydrogène au 1^er niveau excité dans ces dernières d'où l'observation d'un spectre d'absorption des raies de Balmer et aussi

     Observation de l'étoile la plus chaude $\;\color {transparent}{\big (}$température de surface $\;\color {transparent}{T_{0}=20000\;K{\big )}}$ : tous les photons de la série de Lyman émis par les couches profondes de l'étoile peuvent également être absorbés par les couches superficielles de cette dernière car les atomes d'hydrogène y sont principalement au niveau fondamental d'où l'observation d'un spectre d'absorption des raies de Lyman.