Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède

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L'espace physique étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite » .

« Rappel » sur l’évaluation de la résultante des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, 1^ère notion de poussée d’Archimède

Bien que ce ne soit pas précisé dans ce paragraphe, on rappelle que le fluide considéré et le corps y étant immergé sont au repos dans le référentiel d'étude.

« Rappel » sur l’évaluation de la résultante des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation de la force pressante $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$ que $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ en $\;M\;$ point quelconque de la surface de ce dernier

     Dans le paragraphe « autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme » du chap.$4$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »,
     Dans le paragraphe on a considéré un corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de centre $\;C$, de rayon $\;a$, totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à « masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante » $\;{\big (}$réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme${\big )}$, le centre $\;C\;$ étant repérée par sa « cote $\;z_{C}\;$» relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant $\;{\big (}$voir le schéma ci-contre${\big )}\;$ et
     Dans le paragraphe on a évalué la « résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» $\;{\big (}$c.-à-d. la « poussée d'Archimède » ${\big )}\;$ par

• calcul d’intégrale surfacique «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$» $\;{\big [}\left(S\right)\;$ étant la sphère limitant le corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right){\big ]}$,
• après utilisation de l'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie plane relativement à tout plan vertical passant par le centre $\;C\;$ du corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ pour déterminer la direction de la résultante «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• après application de l’intégrale 1^ère spatiale du fluide à « masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante » $\Rightarrow$ «$\;p(M)=p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\;$» en adoptant le repérage sphérique de pôle $\;C\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ vertical ascendant du point générique $\;M\;$ de $\;\left(S\right)$, les coordonnées sphériques de $\;M\;$ étant «$\;\left(a\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» $\;{\big [}$avec pour base sphérique liée à $\;M$ «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \;$» orthonormée directe de l'espace physique orienté à droite ${\big ]}$,
• après projection de $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,dS_{M}\,\left[{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\right]\;$» soit, avec «$\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)={\vec {u}}_{r}(M)\;$» et «$\;{\vec {n}}_{{\mathcal {C}}\,\rightarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;$», «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;dS_{M}\;$» ,
• après constatation que la « fonction à intégrer $\;-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\;$» dans l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre $\;\varphi$ $\;{\big (}$ne dépendant que de $\;\theta {\big )}\;$», il est souhaitable de ramplacer $\;dS_{M}\;$ par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$» «$\;dS_{{\text{couronne sphérique sur }}\left[\theta ,\,\theta +d\theta \right]}=$ $2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;$» ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}\;$ «$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\left[p(z_{C})-\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a\;\cos(\theta )\right]\,\cos(\theta )\,\left[2\;\pi \;a^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \right]\;$ soit finalement

«$\;{\overline {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}={\dfrac {4\;\pi }{3}}\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;g\;a^{3}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}},\,z}=\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;{\dfrac {4\;\pi \;a^{3}}{3}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$»
résultante verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé » .

« Rappel » sur l'équivalence du système des forces pressantes s’exerçant sur un corps sphérique (indéformable) totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme avec une force unique et 1^ère notion de poussée d'Archimède

     Nous avons établi, au paragraphe « utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantes (remarque) » du chap.$4$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) », que la répartition des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable est « équivalente à sa résultante $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» appliquée en un point $\;P\;$ particulier de l'axe vertical passant par le centre $\;C\;$ du corps sphérique $\;{\big [}$voir la justification dans la note « ¹² » du chap.$4$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big ]}$ ; dans ce qui suit nous nous proposons de donner une autre justification à cette propriété :

     Nous avons établi, remarquant que toutes les forces pressantes «$\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ que le fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ sont centrales » , nous en déduisons que leur vecteur moment résultant calculé relativement à $\;C\;$ est nul soit

«$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {CM}}\wedge {\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)={\vec {0}}\;$»  ;

     Nous avons établi, dans la mesure où « la résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ est verticale », le changement d'origine du calcul du vecteur moment résultant de ces forces pressantes s'écrivant

«$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{A,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}+{\overrightarrow {AC}}\wedge {\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» , $\;A\;$ étant un point quelconque de l'espace physique,

     Nous avons établi, nous en déduisons «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{P,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$ pour tout point $\;P\;$ de la verticale passant par le centre $\;C\;$ du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$»  ;

     Nous avons établi, or pour que deux systèmes de forces s’appliquant à un corps indéformable soient équivalents il suffit qu’ils aient même résultante et même moment résultant en un point particulier $\;{\big (}$et d’après la formule de changement d’origine de calcul des moments vectoriels , s’ils ont même moment résultant en un point et même résultante, ils auront même moment résultant en tout point${\big )}\;$ d'où

     Nous avons établi, comparant « le système des forces pressantes $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)=-p(M)\;dS_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ que le fluide incompressible et homogène $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable » de résultante «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et de moment résultant vectoriel au centre $\;C\;$ de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$» à
     Nous avons établi, comparant « une force unique égale à $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ appliquée au point $\;C\;$» dont le moment vectoriel en $\;C\;$ est évidemment nul, nous concluons que

     Nous avons établi, « la répartition des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable » est « équivalente à une force unique égale à la résultante des forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» appliquée au centre $\;C\;$ du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable .

     Conclusion : Le « système des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à masse volumique $\;\mu _{\left({\mathcal {F}}\right)}\;$ constante exerce sur le corps sphérique $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable » est équivalent à une force unique verticale ascendante égale à la résultante de ces forces pressantes $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$ et appliquée au centre $\;C\;$ du corps sphérique, cette force unique est appelée « poussée d'Archimède » $\;{\big (}$usuellement notée «$\;{\vec {\Pi }}\;$»${\big )}\;$ et le point d'application $\;C\;$ de cette dernière « centre de poussée » $\;{\big (}$c'est aussi le C.D.I. du « fluide déplacé » ${\big )}$ ;

     Conclusion : la norme de la poussée d'Archimède étant égale à celle du poids du « fluide déplacé » nous déduisons, de leur direction et sens respectifs, que « la poussée d'Archimède est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé » .

Généralisation à un « corps de forme quelconque éventuellement déformable » totalement immergé dans un « fluide quelconque » en équilibre dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, théorème d’Archimède

     Préliminaire : On s'intéresse à un « fluide quelconque » pouvant donc être compressible et hétérogène avec évolution éventuelle globale ou locale de la température des différentes parties le constituant , le corps immergé de forme quelconque pouvant éventuellement être hétérogène et déformable $\;\ldots$

Théorème d'Archimède

Début d’un théorème

Théorème d'Archimède

     « La résultante des forces de pression exercées sur un corps quelconque $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans un fluide quelconque $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos, $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant en équilibre relativement à $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}\;$» est « égale à l'opposé du poids du fluide déplacé » soit «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;{\vec {g}}\;$» où «$\;m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;$ est la masse de fluide déplacé » et
     « le vecteur moment résultant de ces forces pressantes est nul au point $\;C$ $\;{\big (}$C.D.I. du fluide déplacé ${\big )}\;$» soit «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$».

Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème d'Archimède est applicable même si le « corps considéré est hétérogène et déformable », immergé dans un « fluide compressible et hétérogène » mais,
     Remarque : dans ce cas, « le système des forces pressantes n'étant pas équivalent à l'ensemble de sa résultante et de son moment vectoriel résultant en un point quelconque » , il ne peut se réduire à une force unique égale à la résultante de ces forces pressantes qui serait appliquée en $\;C$ $\;{\big (}$C.D.I. du fluide déplacé ${\big )}\;$ car cette force unique serait incapable d'expliquer une déformation en $\;M$ $\;{\big [}$point quelconque de la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant $\;\left({\mathcal {C}}\right){\big ]}$, laquelle nécessite de connaître la force pressante $\;{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)$, c.-à-d. que la notion de poussée d'Archimède n'a pas de sens ici $\;\ldots$

Précision sur la notion de « fluide déplacé » (par le corps immergé)

     Si le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est limité par la surface fermée $\;\left(S\right)$, le « fluide déplacé » $\;{\big \{}$par le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ immergé${\big \}}\;$ est le fluide $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ que l’on pourrait « fictivement » mettre à la place du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$, limité par la même surface $\;\left(S\right)\;$ et qui resterait en équilibre avec le reste du fluide, comme le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ l'est.

En complément, démonstration du théorème d’Archimède

Principe de solidification

Début d'un axiome

Principe de solidification

     « En tout point extérieur à un corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ quelconque totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ quelconque au repos, le champ de pression reste le même si on substitue le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ par son fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ ».

     Commentaire : Ce principe de solidification s'applique aussi sur la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, $\;\left(S\right)\;$ devenant, lors de la substitution de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ par le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, la surface qui sépare ce fluide fictif $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ du fluide réel $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ présent avant substitution et,
     Commentaire : comme le fluide réel $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ présent avant substitution reste exactement le même après cette dernière, il est logique d'admettre que le champ de pression y reste également le même, y compris sur la surface $\;\left(S\right)$.

Centre d'inertie C du « fluide déplacé » (par le corps immergé)

     Le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ étant fictif, sa répartition de masse $\;{\big \{}$dans le cas où le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est hétérogène${\big \}}\;$ ne peut être précisée ,
          Le fluide déplacé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)}\;$ étant fictif, on ne peut alors pas définir son C.D.I. $\;C\;$ par la connaissance de sa répartition de masse ,
          Le fluide déplacé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)}\;$ étant fictif, il faut donc supposer une répartition de masse du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ qui ne perturbe pas le champ de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ réel et c'est avec cette répartition de masse supposée de $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)$ $\;{\big (}$laquelle n'a pas besoin d'être explicitée ${\big )}\;$ que l'on peut définir le C.D.I. $\;C\;$ du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ $\;{\big [}$sans qu'on ait besoin d'effectuer un positionnement de $\;C\;$ à partir de la répartition de masse non précisée de $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right){\big ]}\;$.

     En conclusion, nous appellerons « C.D.I. $\;C\;$ du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ le barycentre du système de points $\;\left\lbrace P\,\left[\mu _{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}(P)\right],\,P\in \left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\right\rbrace \;$» , «$\;\mu _{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}(P),\;P\in \left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ étant la masse volumique supposée du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ telle que le champ de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ réel soit le même qu'en présence de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$».

Utilisation des conditions nécessaires d'équilibre du « fluide déplacé » par le corps immergé

     A priori, le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ quelconque étant au repos dans le référentiel d'étude galiléen et y restant quand le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ quelconque y est totalement immergé, il faut supposer que ce dernier est également au repos $\;{\big [}$sinon le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ créerait vraisemblablement un mouvement de ce dernier, à moins qu'il ne se soit parfait ${\big ]}$ ;
     lorsqu'on effectue l'opération fictive consistant à remplacer le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ par son fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, ce dernier est alors naturellement en équilibre avec le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$.

Équilibre en translation

     Il n’y a que deux répartitions de forces extérieures s’exerçant sur le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ en équilibre avec le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme :

• la répartition des forces de pesanteur de résultante « le poids du fluide déplacé $\;m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» et
• la répartition des forces pressantes exercées par le reste réel du fluide sur la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ dont la résultante est «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$»

     d’où une 1^ère C.N. d’équilibre du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ plongé dans le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dans le référentiel galiléen où $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est au repos

«$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}+m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}={\vec {0}}\;$»
$\Updownarrow$
«$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$».

Équilibre en rotation

     Comme nous l'avons précisé dans le paragraphe précédent, il n’y a que deux répartitions de forces extérieures s’exerçant sur le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ en équilibre avec le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme :

• la répartition des forces de pesanteur de vecteur moment résultant en $\;C$, C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, nul «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C}\!\left[m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\right]={\vec {0}}\;$» $\;{\big \{}$les forces de pesanteur s'exerçant sur $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ étant équivalentes à une force unique égale à leur résultante appliquée au C.D.I. $\;C\;$ de $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right){\big \}}\;$ et
• la répartition des forces pressantes exercées par le reste réel du fluide sur la surface $\;\left(S\right)\;$ limitant le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ dont le vecteur moment résultant en $\;C$, C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$, vaut «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,(S)}{\overrightarrow {CM}}\wedge {\overrightarrow {dF}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}(M)\;$»

     d’où une 2^ème C.N. d’équilibre du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ plongé dans le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dans le référentiel galiléen où $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est au repos

«$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}{\cancel {+\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C}\!\left[m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\right]}}={\vec {0}}\;$»
$\Updownarrow$
«$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$».

Application du principe de solidification

     D'après le principe de solidification, le champ de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ à l'extérieur du corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ restant le même quand nous substituons fictivement ce dernier par le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$,
     D'après le principe de solidification nous en déduisons que « les forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos » sont les mêmes que « celles que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ » et en particulier
     D'après le principe de solidification nous en déduisons que elles ont « même résultante » c.-à-d. «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» et
     D'après le principe de solidification nous en déduisons que elles ont « même moment vectoriel résultant en $\;C\;$ C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ » c.-à-d. «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}\;$» ;

     compte-tenu des deux C.N. d’équilibre du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ plongé dans le reste réel du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ soumis au champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dans le référentiel galiléen où $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ est au repos «$\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» et «$\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» nous en déduisons :

• la « résultante des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos $\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» C.Q.F.D.P. et
• le « moment résultant vectoriel des forces pressantes que le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ exerce sur le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans le fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos, moment évalué en $\;C\;$ C.D.I. du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ $\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$» C.Q.F.D.P. .

Extension pratique du domaine d'application du théorème d'Archimède

     Nous admettrons que le théorème d’Archimède est encore applicable quand le corps $\;\left({\mathcal {C}}\right)$, totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, est en mouvement pourvu que « le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ne perturbe pas le champ de pression que le fluide exerce sur $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$» $\;{\big \{}$et ceci est réalisé si la vitesse de déplacement du corps relativement au fluide reste très modérée${\big \}}$.

Cas particulier du théorème d’Archimède appliqué à un corps indéformable, notion de poussée d’Archimède

Introduction

     Si le corps immergé $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ est indéformable ${\big (}$c.-à-d. un solide au sens de la mécanique${\big )}$, le mouvement de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et par suite son équilibre dans un champ de forces, dépendant uniquement
     Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ est indéformable de la résultante du champ de forces et
     Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ est indéformable du vecteur moment résultant de ce dernier,
     nous en déduisons que deux champs de forces de même résultante et même vecteur moment résultant ayant des actions identiques sur le corps immergé $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ indéformable sont équivalents ;
     Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ dans le cas présent d'un solide $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans un fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, le champ des forces de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur le solide $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ayant
     Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ $\succ \;$une résultante «$\;{\vec {R}}_{{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}=-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» et
     Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ $\succ \;$un vecteur moment résultant nul au C.D.I. $\;C\;$ du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ «$\;{\vec {\mathcal {M}}}_{C,\,{\mathcal {C}}\,\leftarrow \,{\mathcal {F}}}={\vec {0}}\;$»,
     Si le corps immergé $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ constatant qu'« une force unique appliquée en $\;C\;$ égale à $\;-m_{{\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}}\;{\vec {g}}\;$» a « même résultante et même vecteur moment résultant en $\;C\;$ que le champ des forces de pression du fluide $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ sur le solide $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$», nous en déduisons l'expression du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable.

Énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable

Début d’un théorème

Théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable

     « Le système des forces de pression exercées sur un solide quelconque $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ totalement immergé dans un fluide quelconque $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ au repos tel que $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ soit en équilibre relativement à $\;\left({\mathcal {F}}\right)\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}\;$»
          « Le système des forces de pression exercées sur un solide quelconque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}\;$ est « équivalent à une force unique appelée poussée d'Archimède usuellement notée $\;{\vec {\Pi }}\;$ égale à l'opposé du poids du fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$ et appliquée au C.D.I. $\;C\;$ de ce dernier, $\;C\;$ étant appelé centre de poussée » soit «$\;{\vec {\Pi }}=-m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;{\vec {g}}\;$» où «$\;m_{{\mathcal {F}}_{\text{déplacé}}}\;$ est la masse de fluide déplacé $\;\left({\mathcal {F}}_{\mathcal {C}}\right)\;$» .

Fin du théorème

« 1^ère application du théorème d’Archimède », aérostat

Définition d’un aérostat

Schéma d'un aérostat dans l'atmosphère terrestre et forces appliquées sur l'aérostat à l'altitude $\;z\;$ en mouvement vertical dans l'air au repos

     « Un aérostat est un ballon fermé, à enveloppe élastique, rempli d’un gaz moins dense que l'air en équilibre thermodynamique avec l'atmosphère , cette dernière étant globalement immobile dans le référentiel terrestre d'étude » ;

     usuellement une nacelle contenant du matériel embarqué pour mesures ou expériences est accroché au ballon ;

     nous considérerons le champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel terrestre galiléen et
     nous prendrons le modèle G.P. de l'« atmosphère en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme » pour connaître la variation du champ de pression de l'atmosphère avec l'altitude.

But recherché

     Nous nous proposons de trouver la « condition de décollage de l'aérostat » $\;{\big [}$en terme de quantité de gaz à utiliser compte-tenu de sa nature et de la masse de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” », dans les conditions locales de pression et température de l'atmosphère${\big ]}\;$ et, une fois ce dernier réussi,
     Nous nous proposons de voir l'« évolution de son mouvement » $\;{\big (}$dans le cas d'un aérostat non motorisé encore appelé « ballon »${\big )}$ ainsi que
     Nous nous proposons de voir l'« évolution de son enveloppe élastique » $\;{\big (}$dans le cas d'un « ballon »${\big )}\;$ ${\big [}$en particulier la variation du volume limité par cette dernière avec les conséquences que sa variation éventuelle entraîne${\big ]}$.

Notion de force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l’altitude z

     Dans ce paragraphe nous nous intéressons aux forces appliquées à l'aérostat hors de toutes forces motrices éventuellement utilisées pour engendrer un mouvement horizontal de l'aérostat $\;{\big (}$c.-à-d. aux seules forces appliquées sur un aérostat non motorisé encore appelé « ballon »${\big )}$.

     La « force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l'altitude $\;z\;$» est la « résultante des forces appliquées sur l'aérostat $\;{\big (}$non motorisé${\big )}\;$ à cette altitude $\;z\;$»,
     La « force ascension elle est effectivement ascensionnelle si sa projection sur un axe vertical ascendant est positive ;

     le bilan des forces appliquées sur l'aérostat $\;{\big (}$non motorisé${\big )}\;$ est, avec choix d'un vecteur unitaire vertical ascendant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ lié au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et,
     le bilan des forces appliquées sur l'aérostat $\;\color {transparent}{\big (}$non motorisé$\color {transparent}{\big )}\;$ est, dans l'hypothèse où l'aérostat n'est pas en mouvement ou,
     le bilan des forces appliquées sur l'aérostat $\;\color {transparent}{\big (}$non motorisé$\color {transparent}{\big )}\;$ est, dans l'hypothèse où l'aérostat n'est pas en mouvement vertical à faible vitesse $\Rightarrow$ la force de résistance à l'avancement négligée dans le bilan de forces :

• le poids de l’enveloppe, de la nacelle et du matériel embarqué «$\;m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{bal}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
• le poids du gaz contenu dans l'enveloppe élastique «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{gaz}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• la résultante des forces pressantes que l'atmosphère exerce sur l'aérostat «$\;{\vec {\Pi }}(z)=m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big (}$seule force ascendante${\big )}$, dans laquelle $\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;$ est la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par l'aérostat${\big )}\;$ ;

     la force ascensionnelle exercée sur l'aérostat s'écrit donc «$\;{\vec {F}}=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{gaz}}}\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left[m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)-m_{\,{\text{bal}}}-m_{\,{\text{gaz}}}\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$».

     Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par l'aérostat${\big )}\;$ : notant $\;M_{\text{air}}\;$ la masse molaire moyenne de l'air, $\;z\;$ l'altitude du C.D.I. $\;C\;$ de l'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par l'aérostat${\big )}\;$, $\;V(z)\;$ le volume de l'aérostat, $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ la pression moyenne de l'atmosphère et $\;T(z)\;$ la température de l'atmosphère, ces trois dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$,
          Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big (}$par l'aérostat$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour l'atmosphère et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle , la quantité d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par l'aérostat${\big )}\;$ à l'altitude $\;z\;$ «$\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P.  » et par suite,
          Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big (}$par l'aérostat$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par l'aérostat${\big )}\;$ «$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$».

     Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales $\;{\big (}$pression moyenne , température et volume de gaz${\big )}$ : notant $\;M_{\text{gaz}}\;$ la masse molaire du gaz, le volume de gaz $\;{\big (}$très légèrement inférieur au volume de l'aérostat mais confondu avec ce dernier${\big )}\;$ vaut $\;V(z)$, l'équilibre thermodynamique entre l'aérostat et l'atmosphère de contact ayant pour conséquences que $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ est aussi la pression moyenne du gaz et $\;T(z)\;$ assimilé à la température du gaz , ces trois dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$,
          Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big (}$pression moyenne, température et volume de gaz$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour le gaz et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle , la quantité de gaz embarquée $\;{\big (}$celle-ci étant constante${\big )}\;$ «$\;n_{\,{\text{gaz}}}={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P.  » et par suite,
          Lien entre la masse de gaz et les trois grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big (}$pression moyenne, température et volume de gaz$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse de gaz embarquée $\;{\big (}$également constante${\big )}\;$ «$\;m_{\,{\text{gaz}}}=$ $M_{\text{gaz}}\;n_{\,{\text{gaz}}}=M_{\text{gaz}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}=cste\;$».

     Masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par l'aérostat${\big )}\;$ en fonction de la masse de gaz : reportant «$\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;$» dans «$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V(z)}{R\;T(z)}}\;$» nous obtenons

«$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=m_{\,{\text{gaz}}}\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}\;$» c.-à-d. une constante.

     Finalement la force ascensionnelle exercée sur l'aérostat à l'altitude $\;z\;$ se réécrivant selon

«$\;{\vec {F}}=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{gaz}}}\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left[m_{\,{\text{gaz}}}\left({\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1\right)-m_{\,{\text{bal}}}\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$»

     Finalement la force ascensionnelle est constante $\;{\big (}$indépendante de l'altitude $\;z{\big )}\;$ et
     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle si la masse de gaz est suffisante par rapport à celle de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” ».

Condition de décollage

     Pour que l'aérostat décolle quand les amarres sont larguées, il faut que « la force ascensionnelle $\;{\vec {F}}\;$ soit réellement dans le sens des altitudes $\;\nearrow \;$ au niveau du sol » c.-à-d. «$\;{\vec {F}}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}\geqslant 0\;$» ou

«$\;m_{\,{\text{gaz}}}\left({\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1\right)\geqslant m_{\,{\text{bal}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\geqslant {\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{{\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1}}\;$».

     Numériquement, avec une masse de l'« ensemble “enveloppe élastique - nacelle et matériel embarqué” » $\;m_{\,{\text{bal}}}=100\;kg$,
     Numériquement, avec une masse molaire moyenne de l'atmosphère $\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}$,
     Numériquement, avec l'utilisation d'hélium $\;{\text{He}}_{\,2}\;$ comme gaz moins dense que l'air $\Rightarrow$ une masse molaire de gaz $\;M_{\text{gaz}}\simeq 4,0\;g\cdot mol^{-1}$,
     Numériquement, la masse de gaz à stocker initialement est «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\geqslant {\dfrac {100}{{\dfrac {29}{4,0}}-1}}\simeq 16\;kg\;$» $\;{\Bigg [}$l'emploi du gaz le moins dense $\;{\big (}$à savoir le dihydrogène $\;{\text{H}}_{\,2}\;$ de masse molaire $\;M_{\text{gaz}}\simeq 2,0\;g\cdot mol^{-1}{\big )}\;$ conduirait à une masse minimale de gaz plus faible $\;{\Bigg (}\!$avec le dihydrogène on trouverait «$\;m_{\,{\text{gaz}}}\geqslant {\dfrac {100}{{\dfrac {29}{2,0}}-1}}\simeq 7,4\;kg\;$»$\!{\Bigg )}$ mais son emploi s'étant soldé par des accidents suffisamment spectaculaires dont celui du zeppelin LZ 129 Hindenburg le $\;6\;$ mai $\;1937\;$ lors de son atterrissage à Lakehurst dans le New Jersey aux États-Unis d'Amérique du Nord, il fut prohibé par la suite${\Bigg ]}$ ;

     au niveau du sol, la pression étant «$\;p_{0}=1\;bar=10^{5}\;Pa\;$» et la température «$\;T_{0}=293\;K\;$» , la constante molaire des G.P. valant $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$,
     au niveau du sol, le volume limité par l’enveloppe du ballon doit être «$\;V_{0}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;{\dfrac {R\;T_{0}}{p_{0}}}\simeq {\dfrac {16}{4\;10^{-3}}}\times {\dfrac {8,314\times 293}{10^{5}}}\simeq 97,4\;m^{3}\;$» dont nous en déduisons
     au niveau du sol, le rayon du ballon limité par l'enveloppe élastique $\;{\big (}$au niveau du sol${\big )}\;$ «$\;R_{{\text{bal}},\,0}={\sqrt[{3}]{\dfrac {3\;V_{0}}{4\;\pi }}}\;$» soit «$\;R_{{\text{bal}},\,0}\simeq {\sqrt[{3}]{\dfrac {3\times 97,4}{4\;\pi }}}\simeq 2,85\;m\;$» correspondant à
     au niveau du sol, un diamètre de «$\;5,7\;m\;$» $\;{\big (}$au niveau du sol${\big )}$ $\;{\bigg \{}$avec l'emploi de dihydrogène la masse de gaz à utiliser serait «$\;7,4\;kg\;$», son volume au niveau du sol «$\;\simeq {\dfrac {7,4}{2\;10^{-3}}}\times {\dfrac {8,314\times 293}{10^{5}}}$ $\simeq 90,1\;m^{3}\;$» et le diamètre du ballon «$\;\simeq 2\times {\sqrt[{3}]{\dfrac {3\times 90,1}{4\;\pi }}}\simeq 5,6\;m\;$»${\bigg \}}$.

Mouvement ascendant de l'aérostat et son évolution

     L'aérostat $\;{\big (}$non motorisé${\big )}\;$ étant soumis à une force ascensionnelle constante, on pourrait s'attendre à une accélération constante, mais il faut tenir compte de la résistance de l'air $\;{\big (}$verticale descendante dans la mesure où le mouvement est vertical ascendant${\big )}\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{air}}=-{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle $\;V_{z}(z)\;$ est la vitesse de l'aérostat à l'altitude $\;z\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]\;$ une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;V_{z}\;$,
     l'application du théorème du mouvement du C.D.I. à l'aérostat $\;{\big (}$non motorisé${\big )}\;$ conduisant à l'accélération de ce dernier le long de l'axe vertical ascendant «$\;a_{z}(z)={\dfrac {{\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}-{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]}{m_{\text{bal}}+m_{\,{\text{gaz}}}}}\;$» soit encore «$\;a_{z}(z)=$ ${\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}\left({\dfrac {M_{\text{air}}}{M_{\text{gaz}}}}-1\right)-m_{\,{\text{bal}}}}{m_{\text{bal}}+m_{\,{\text{gaz}}}}}\;g-{\dfrac {{\mathcal {R}}_{\text{air}}\!\left[V_{z}(z)\right]}{m_{\text{bal}}+m_{\,{\text{gaz}}}}}\;$» qui est $\;\searrow \;$ tant que $\;a_{z}\;$ est $\;>0\;$ entraînant une $\;\nearrow \;$ de $\;V_{z}$, la diminution de l’accélération étant d’autant plus rapide que la vitesse est grande $\;{\big \{}$nous supposons que le mouvement de l'aérostat, même rapide, ne perturbe pas de façon importante l'expression de la résultante des forces pressantes de l'atmosphère c.-à-d. que le théorème d'Archimède reste applicable${\big \}}$ ;

     quand la force ascensionnelle est compensée par la résistance de l’air, le ballon continue son ascension à vitesse constante $\;{\big \{}$c’est la vitesse limite introduite dans le paragraphe « existence d'une vitesse limite de chute du parachutiste pratiquement accessible » du chap.$11$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », cette notion étant indépendante du sens du mouvement du corps${\big \}}$.

     Dans l'hypothèse simplificatrice où il y a un équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat et l'atmosphère environnant , le volume de gaz à l'altitude $\;z\;$ s'obtenant par utilisation de la forme globale de l'équation d'état du gaz dans laquelle la quantité de gaz vaut $\;n_{\,{\text{gaz}}}={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;$ s'écrit «$\;V(z)={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;{\dfrac {R\;T(z)}{p_{\text{moy}}(z)}}\;$» et par suite $\;\nearrow \;$ avec l'altitude $\;z\;$ en effet :

• si le modèle de l’atmosphère isotherme a été choisi, la pression moyenne de l'atmosphère à l'altitude $\;z\;$ c.-à-d. $\;p_{\text{moy}}(z)\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ et
• si le modèle de l'atmosphère à gradient de température constant $\;{\big (}$à raison d’une $\;\searrow \;$ de température de $\;6,5\;K\;$ par $\;km{\big )}\;$ a été choisi, la pression moyenne de l'atmosphère à l'altitude $\;z\;$ s’écrit «$\;p_{\text{moy}}(z)=$ $p_{\text{moy}}(0)\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]^{\,{\frac {M_{\text{air}}\;g}{R\;a}}}$» avec $\;a\simeq 6,5\;K\cdot km^{-1}\;$ ou «$\;p_{\text{moy}}(z)=p_{\text{moy}}(0)\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]^{k}\;$» avec $\;k\simeq 5,26\;$ ${\big [}$voir le paragraphe « évaluation du champ de pression (dans le modèle de l'atmosphère à gradient de température constant) » du chap.$2$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) »${\big ]}\;$ soit, sachant que «$\;T(z)=T_{0}\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {T(z)}{p_{\text{moy}}(z)}}={\dfrac {T_{0}}{p_{\text{moy}}(0)}}\,\left[{\dfrac {T(z)}{T_{0}}}\right]^{(1-k)}\;$» soit finalement «$\;V(z)={\dfrac {m_{\,{\text{gaz}}}}{M_{\text{gaz}}}}\;{\dfrac {R\;T_{0}}{p_{\text{moy}}(0)}}\;\left[{\dfrac {T_{0}}{T(z)}}\right]^{(k-1)}\;$» avec $\;{\dfrac {T_{0}}{T(z)}}={\dfrac {T_{0}}{T_{0}-a\;z}}>1\;$ et $\;k-1\simeq 4,26\;$ d'où «$\;V(z)\;$ fonction $\;\nearrow \;$ de l'altitude $\;z\;$» ;

     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus avec condition simplificatrice d'équilibre thermique entre le gaz contenu dans l'aérostat et l'atmosphère environnant ,
     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus la $\;\nearrow \;$ du volume de gaz avec l'altitude $\;z\;$ s'accompagnant d'un accroissement de la tension de l'enveloppe élastique,
     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus on en déduit la sortie de l'enveloppe de son domaine d'élasticité, la poursuite de son gonflement irréversible et l'entrée dans son domaine de rupture d'où
     dans les modèles d'atmosphère envisagés ci-dessus on en déduit l'explosion de l'aérostat à une altitude dépendant essentiellement des qualités de résistance à la rupture de l'enveloppe élastique

« 2^ème application du théorème d’Archimède », montgolfière

Définition d’une montgolfière

Schéma de montgolfière dans l'atmosphère terrestre et forces appliquées sur la montgolfière à l'altitude $\;z\;$ en mouvement vertical dans l'air au repos

     « Une montgolfière est un ballon ouvert, de volume intérieur constant, rempli d’air chauffé par un brûleur en équilibre mécanique $\;{\big (}$mais non thermique${\big )}\;$ avec l’atmosphère, cette dernière étant globalement immobile dans le référentiel terrestre d'étude » ;

     une nacelle contenant du matériel embarqué pour mesures ou expériences et au moins un humain pour piloter la montgolfière est accroché au ballon ;

     nous considérerons le champ de pesanteur terrestre uniforme dans le référentiel terrestre galiléen et
     nous prendrons le modèle G.P. de l'« atmosphère en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme » pour connaître la variation du champ de pression de l'atmosphère avec l'altitude.

But recherché

     Nous nous proposons de trouver la « condition de décollage de la montgolfière » $\;{\big [}$en terme de différentiel de température à imposer à l'air stagnant dans le ballon ouvert relativement à l'air extérieur pour une masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” », dans les conditions locales de pression et température de l'atmosphère${\big ]}\;$ et, une fois ce dernier réussi,
     Nous nous proposons de voir « comment adapter le différentiel de température à imposer à l'air stagnant dans le ballon ouvert relativement à l'air extérieur compte-tenu de l’évolution souhaitée du mouvement de la montgolfière ».

Notion de force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l’altitude z

     La « force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l'altitude $\;z\;$» est la « résultante des forces qui lui sont appliquées à cette altitude $\;z\;$»,
     La « force ascension elle est effectivement ascensionnelle si sa projection sur un axe vertical ascendant est positive ;

     le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, avec choix d'un vecteur unitaire vertical ascendant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ lié au référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ galiléen et,
           le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, dans l'hypothèse où la montgolfière n'est pas en mouvement ou,
                 le bilan des forces appliquées sur la montgolfière est, dans l'hypothèse où la montgolfière n'est pas en mouvement vertical à faible vitesse $\Rightarrow$ la force de résistance à l'avancement négligée dans le bilan de forces :

• le poids du ballon ouvert, de la nacelle, du matériel et des humains embarqués «$\;m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{bal}}}\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
• le poids de l'air intérieur au ballon ouvert «$\;m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}=-m_{\,{\text{air int}}}(z)\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• la résultante des forces pressantes que l'atmosphère exerce sur la montgolfière «$\;{\vec {\Pi }}(z)=m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$» $\;{\big (}$seule force ascendante${\big )}$, dans laquelle $\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;$ est la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par la montgolfière ${\big )}\;$ ;

     la force ascensionnelle exercée sur la montgolfière s'écrit donc «$\;{\vec {F}}(z)=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left[m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)-m_{\,{\text{bal}}}-m_{\,{\text{air int}}}(z)\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$».

     Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par la montgolfière ${\big )}\;$ : notant $\;M_{\text{air}}\;$ la masse molaire moyenne de l'air, $\;z\;$ l'altitude du C.D.I. $\;C\;$ de l'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par la montgolfière ${\big )}\;$, $\;V\;$ le volume de la montgolfière, $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ la pression moyenne de l'atmosphère et $\;T_{\text{atm}}(z)\;$ la température de l'atmosphère, ces deux dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$,
                Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big (}$par la montgolfière$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour l'atmosphère et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle , la quantité d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par la montgolfière ${\big )}\;$ à l'altitude $\;z\;$ «$\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P.  » et par suite,
                 Détermination de la masse d'atmosphère déplacée $\;\color {transparent}{\big (}$par la montgolfière$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par la montgolfière ${\big )}\;$ «$\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=M_{\text{air}}\;n_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)=$ $M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}\;$».

     Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales $\;{\big (}$pression moyenne , température d'air${\big )}$ : notant $\;M_{\text{air}}\;$ la masse molaire moyenne de l'air, le volume d'air $\;{\big (}$très légèrement inférieur au volume de la montgolfière mais confondu avec ce dernier${\big )}\;$ vaut $\;V$, l'équilibre mécanique entre l'air du ballon ouvert et l'atmosphère de contact ayant pour conséquence que $\;p_{\text{moy}}(z)\;$ est aussi la pression moyenne de l'air contenu dans le ballon ouvert , $\;T_{\text{air int}}(z)\;$ étant la température de l'air contenu dans le ballon ouvert $\;{\big (}$celle-ci étant supposée uniforme dans le ballon${\big )}$, ces deux dernières grandeurs étant définies à l'altitude $\;z$,
          Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big (}$pression moyenne, température d'air$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, du modèle G.P. adopté pour l'air intérieur au ballon ouvert et de la forme globale de l'équation d'état de ce modèle , la quantité d'air contenu dans le ballon ouvert à l'altitude $\;z\;$ «$\;n_{\,{\text{air int}}}(z)={\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{air int}}(z)}}\;$» dans laquelle «$\;R\;$ est la constante molaire des G.P.  » et par suite,
           Lien entre la masse d'air intérieur au ballon ouvert et les deux grandeurs thermodynamiques locales $\;\color {transparent}{\big (}$pression moyenne, température d'air$\color {transparent}{\big )}\;$ : nous déduisons, la masse d'air contenu dans le ballon ouvert à l'altitude $\;z\;$ «$\;m_{\,{\text{air int}}}(z)=M_{\text{air}}\;n_{\,{\text{air int}}}(z)=M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{air int}}(z)}}\;$» $\;{\Bigg \{}$laquelle est $\;<\;$ à la masse d'atmosphère déplacée $\;{\big (}$par la montgolfière ${\big )}$ $\;m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)$, puisque $\;T_{\text{air int}}(z)\;$ est $\;>\;$ à la température locale de l'atmosphère $\;T_{\text{atm}}(z)$, plus exactement $\;m_{\,{\text{air int}}}(z)=m_{\,{\text{atm}}_{\,{\text{bal}}}}(z)\;{\dfrac {T_{\text{atm}}(z)}{T_{\text{air int}}(z)}}{\Bigg \}}$.

     Finalement la force ascensionnelle exercée sur la montgolfière à l'altitude $\;z\;$ se réécrivant selon

«$\;{\vec {F}}(z)=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)=\left\lbrace {\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\right]-m_{\,{\text{bal}}}\right\rbrace \,g\;{\vec {u}}_{z}\;$
$\;\color {transparent}{{\vec {F}}(z)=m_{\,{\text{bal}}}\;{\vec {g}}+m_{\,{\text{air int}}}(z)\;{\vec {g}}+{\vec {\Pi }}(z)}\;$ $=\left[{\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\;{\dfrac {T_{\text{air int}}(z)-T_{\text{atm}}(z)}{T_{\text{atm}}(z)\;T_{\text{air int}}(z)}}-m_{\,{\text{bal}}}\right]\,g\;{\vec {u}}_{z}\;$»    

     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle $\;{\big (}$mais visiblement non constante${\big )}\;$ sous deux C.N.
     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle un volume intérieur au ballon ouvert suffisant relativement à la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » dans les conditions atmosphériques de l'altitude $\;z\;$ c.-à-d. «$\;M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}>m_{\,{\text{bal}}}\;$» et
     Finalement la force ascensionnelle est effectivement ascensionnelle une température de l'air contenu dans le ballon ouvert suffisante relativement à la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » dans les conditions atmosphériques de l'altitude $\;z\;$ c.-à-d. «$\;M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(z)}}-M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(z)\;V}{R\;T_{\text{air int}}(z)}}\nless m_{\,{\text{bal}}}\;$» .

Condition de décollage

     Pour que la montgolfière décolle quand les amarres sont larguées, il faut que « la force ascensionnelle $\;{\vec {F}}(z)\;$ soit réellement dans le sens des altitudes $\;\nearrow \;$ au niveau du sol » c.-à-d. «$\;{\vec {F}}(0)\cdot {\vec {u}}_{z}\geqslant 0\;$» ce qui donne les conditions équivalentes suivantes

«$\;{\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(0)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(0)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(0)}}\right]\geqslant m_{\,{\text{bal}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(0)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(0)}}\geqslant {\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{{\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(0)\;V}}\;$» oe encore
«$\;{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(0)}}\leqslant {\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(0)}}\left[1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{M_{\text{air}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(0)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(0)}}}}\right]\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;T_{\text{air int}}(0)\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{M_{\text{air}}}}\;{\dfrac {R\;T_{\text{atm}}(0)}{p_{\text{moy}}(0)\;V}}}}\;$».

     Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : remarquant que «$\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(0)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(0)}}\;$ est la quantité d'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière à la température de l’air extérieur » et par suite que «$\;{M_{\text{air}}}\;{\dfrac {p_{\text{moy}}(0)\;V}{R\;T_{\text{atm}}(0)}}\;$ est la masse d'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière avant chauffage notée $\;m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\;$», la condition de décollage de la montgolfière au niveau du sol nécessite que l'air stagnant dans le ballon ouvert de la montgolfière soit porté à une température «$\;T_{\text{air int}}(0)\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}}}\;$» ;
     Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : cette dernière formulation de la condition de décollage montre que la masse d'air introduite dans le ballon ouvert doit être, avant chauffage, plus grande que la masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » $\;{\big (}$de façon à ce que le dénominateur du 2^ème membre soit $\;>0{\big )}\;$ mais aussi
     Commentaire sur la condition de décollage au niveau du sol : cette dernière formulation de la condition de décollage montre que la température minimale de chauffage de l'air initialement introduit dans le ballon ouvert sera d’autant moins élevée que le rapport $\;{\dfrac {m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}{m_{\,{\text{bal}}}}}\;$ sera grand $\;{\big (}$plus ce rapport est grand, plus le dénominateur du 2^ème membre de la dernière formulation de la condition de décollage de la montgolfière au niveau du sol est grand${\big )}$.

     Numériquement, avec une masse de l'« ensemble “ballon ouvert - nacelle - matériel et humains embarqués” » $\;m_{\,{\text{bal}}}=500\;kg$,
     Numériquement, avec une masse molaire moyenne de l'atmosphère $\;M_{\text{air}}\simeq 29\;g\cdot mol^{-1}$, la constante molaire des G.P. valant $\;R\simeq 8,314\;J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}$,
     Numériquement, avec des conditions locales d'atmosphère au niveau du sol correspondant à une température «$\;T_{\text{atm}}(0)\simeq 293\;K\;$» et une pression moyenne «$\;p_{\text{moy}}(0)\simeq 1,0\;bar=10^{5}\;Pa\;$»,
     Numériquement, souhaitant porter la température de l'air initialement introduit dans le ballon ouvert quand ce dernier est au niveau du sol à la valeur «$\;T_{\text{air int}}(0)\simeq 1000\;K\;$» , nous en déduisons

     Numériquement, la condition sur la « masse d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage $\;m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\;$» par «$\;T_{\text{air int}}(0)\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}}}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;1-{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}\geqslant {\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{T_{\text{air int}}(0)}}\;$ ou encore $\;{\dfrac {m_{\,{\text{bal}}}}{m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}}\leqslant 1-{\dfrac {T_{\text{atm}}(0)}{T_{\text{air int}}(0)}}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}{m_{\,{\text{bal}}}}}\geqslant {\dfrac {T_{\text{air int}}(0)}{T_{\text{air int}}(0)-T_{\text{atm}}(0)}}\simeq {\dfrac {1000}{1000-293}}\simeq 1,41\;$» soit «$\;m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\geqslant 1,414\;m_{\,{\text{bal}}}\simeq 707\;kg\;$» correspondant à
     Numériquement, la « quantité d'air contenu dans le ballon ouvert avant chauffage $\;n_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}={\dfrac {m_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}}{M_{\text{air}}}}\;$» soit «$\;n_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\geqslant {\dfrac {707}{29\;10^{-3}}}\simeq 24,38\;10^{3}\;mol\simeq 24,4\;kmol\;$» dont nous tirons, par utilisation de l'équation d'état d'un G.P. sous sa forme globale ,
     Numériquement, le « volume d'air contenu dans le ballon ouvert dans les conditions atmosphériques locales au niveau du sol $\;V={\dfrac {n_{{\text{air int}},\,T_{\text{atm}}(0)}\;R\;T_{\text{atm}}(0)}{p_{\text{moy}}(0)}}\;$» soit «$\;V\geqslant {\dfrac {24,38\;10^{3}\times 8,314\times 293}{1,0\;10^{5}}}\;$ $\simeq 594\;m^{3}\;$» ce qui donne, pour contenance du ballon ouvert, la valeur minimale de «$\;V_{\text{min}}\simeq 594\;m^{3}\;$» c.-à-d., avec l'hypothèse d'une forme sphérique pour l'enveloppe du ballon ouvert,
     Numériquement, un rayon minimal du ballon ouvert valant «$\;R_{{\text{bal}}\,{\text{min}}}={\sqrt[{3}]{\dfrac {3\;V_{\text{min}}}{4\;\pi }}}\simeq {\sqrt[{3}]{\dfrac {3\times 594}{4\;\pi }}}\simeq 5,21\;m\;$» soit un « diamètre minimal de $\;10,4\;m\;$» .

Mouvement ascendant de la montgolfière et son évolution

     Après le largage des amarres retenant la montgolfière au sol, la force ascensionnelle «$\;{\vec {F}}(z)=\left\lbrace {\dfrac {M_{\text{air}}}{R}}\;p_{\text{moy}}(z)\;V\left[{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\right]-m_{\,{\text{bal}}}\right\rbrace \,g\;{\vec {u}}_{z}\;$» initialement dans le sens des $\;z\nearrow \;$ dans la mesure où la condition de décollage est réalisée $\Rightarrow$ une accélération initiale ascendante de la montgolfière et par suite un mouvement vertical ascendant à vitesse initialement $\;\nearrow$ $\;\ldots$

     $\;\succ \;$Dans une 1^ère étude simplifiée dans laquelle est faite l'hypothèse que «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ est maintenu constant quand $\;z\nearrow \;$» , nous constatons que la « composante verticale dans le sens des $\;z\nearrow \;$ de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$» et ceci tant que l'hypothèse «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ est maintenu constant »,
           $\;\color {transparent}{\succ }\;$Dans une 1^ère étude simplifiée dans laquelle est faite l'hypothèse que «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}}\;$ est maintenu constant quand $\;\color {transparent}{z\nearrow }\;$», «$\;F\;$ cessant de $\;\searrow \;$ quand sa valeur devient nulle dont la conséquence est que la montgolfière atteint un plafond » .

     $\;\succ \;$Dans une 2^nde étude avec «$\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ non maintenu constant quand $\;z\nearrow \;$», la « variation, quand $\;z\nearrow$, de la composante verticale ascendante de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\;$ ne peut pas être déterminée sans autre hypothèse » car, si la pression moyenne atmosphérique $\;p_{\text{moy}}(z)\searrow \;$ quand $\;z\nearrow$, la variation de l'autre facteur $\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ n'est pas a priori connu ;
     $\;\color {transparent}{\succ }\;$Dans une 2^nde étude avec «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}}\;$ non maintenu constant quand $\;\color {transparent}{z\nearrow }\;$», $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$» , la « composante verticale, dans le sens des $\;z\nearrow$, de la force ascensionnelle $\;F={\vec {F}}\cdot {\vec {u}}_{z}\searrow \;$» ce qui, si la $\;\searrow \;$ perdure, conduira à sa nullité temporaire et par suite à un « plafond temporaire pour la montgolfière » ,
     $\;\color {transparent}{\succ }\;$Dans une 2^nde étude avec «$\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}}\;$ non maintenu constant quand $\;\color {transparent}{z\nearrow }\;$», $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dfrac {1}{T_{\text{atm}}(z)}}-{\dfrac {1}{T_{\text{air int}}(z)}}\;$ est approximativement constant ou $\;\nearrow \;$