Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression

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Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression
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Chapitre no 4
Leçon : Statique des fluides (PCSI)
Chap. préc. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Facteur de Boltzmann
Chap. suiv. :Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Poussée d'Archimède
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Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Résultante des forces de pression
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique étant sauf avis contraire « orienté à droite » [1].

Rappel de notion de vecteur surface élémentaire dans les différents systèmes de coordonnéesModifier

Voir le paragraphe « notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Notion de vecteur surface élémentaire en un point générique (régulier) d'une surfaceModifier

     Le « vecteur surface élémentaire [2] en un point régulier   de la surface  » [3] est le « vecteur   normal à   en  », colinéaire au « vecteur unitaire   normal à   en  »  de sens a priori arbitraire  tel que

« », «  étant l'aire de la surface élémentaire centrée en  »
 voir le paragraphe « propriété (du vecteur élément de surface) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » .

Expression en paramétrage cartésienModifier

     Si la surface   est « plane   à  , orientée par   le 3ème vecteur de la base cartésienne orthonormée   directe dans l'espace physique orienté à droite » [4], le vecteur élément de surface de la surface   en   s'écrit

«  avec  » [5] car « » et « » [6].

Expression en paramétrage cylindro-polaireModifier

     Si la surface   est « plane   à  , orientée par   le 3ème vecteur de la base cylindro-polaire de pôle    d'axe   liée à   orthonormée   directe dans l'espace physique orienté à droite » [4], le vecteur élément de surface de la surface   en   s'écrit

«  avec  » [5] car « » et « » [7].

     Si la surface   est une « portion de surface latérale de tuyau cylindrique de révolution d'axe à  , orientée par   le 1er vecteur de la base cylindro-polaire de pôle    d'axe   liée à   orthonormée   directe dans l'espace physique orienté à droite » [4], le vecteur élément de surface de la surface   en   s'écrit

«  avec  » [5] car « » et « » [8].

Expression en paramétrage sphériqueModifier

     Si la surface   est une « portion de sphère de centre  , orientée par   le 1er vecteur de la base sphérique de pôle   liée à   orthonormée   directe dans l'espace physique orienté à droite » [4], le vecteur élément de surface de la surface   en   s'écrit

«  avec  » [5] car « » et « » [9].

     Si la surface   est une « portion de cône de révolution de sommet  , d'axe  , orientée par   le 2ème vecteur de la base sphérique de pôle    d'axe   liée à   orthonormée   directe dans l'espace physique orienté à droite » [4], le vecteur élément de surface de la surface   en   s'écrit

«  avec  » [5] car « » et « » [10].

Expression de la force pressante s'exerçant sur un élément de surface d'une paroiModifier

     Si on considère un élément de paroi en un point  , d’aire  , orienté du fluide vers la paroi limitant le fluide par le vecteur unitaire normal « », la force pressante exercée par le fluide sur l’élément de paroi en    le fluide étant au repos relativement à la paroi  s’écrit

« 
                  » avec
                                                                    « ».

Utilisation des symétries (ou antisymétries) planes de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantesModifier

Invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantesModifier

 
Vue de dessus et vue en perspective d'un barrage hémicylindrique explicitant  sur la vue de dessus  l'invariance par symétrie plane relativement à   de la répartition des forces pressantes exercées par l'eau sur le barrage

     Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi est invariante par symétrie plane relativement à un plan  [11], c’est aussi un plan de symétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est dans ce plan de symétrie   cela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par symétrie plane,

  • d'une part leur résultante  c.-à-d. leur somme  la possède également et
  • d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan de symétrie [12] d'où

la résultante des forces pressantes est nécessairement contenue dans ce plan [13]   voir ci-contre à droite .

Invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantesModifier

 
Vue de dessus exposant l'invariance par antisymétrie plane relativement à   de la répartition des forces pressantes exercées par l'eau sur l'ensemble des surfaces hémicylindriques convexe à gauche et concave à droite

     Si la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi [14] est invariante par antisymétrie plane relativement à un plan  [15], c’est aussi un plan d'antisymétrie pour la résultante de ces forces pressantes et par suite cette résultante est à ce plan d'antisymétrie   cela résulte du fait que toutes les forces pressantes possédant l'invariance par antisymétrie plane,

  • d'une part leur résultante  c.-à-d. leur somme  la possède également et
  • d'autre part, cette dernière doit être appliquée en un point du plan d'antisymétrie [16] d'où

la résultante des forces pressantes est nécessairement   à ce plan [17]   voir ci-contre à gauche .

     Commentaire : L'invariance par antisymétrie plane de la répartition des forces pressantes s’exerçant sur une paroi [14] ne se rencontre pratiquement jamais dans les exemples pratiques  nous avons vu sur l'exemple ci-dessus que la paroi choisie [14] est sophistiquée ,
     Commentaire : le cas le plus fréquent étant la reconnaissance d'une invariance par symétrie plane étudiée au paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre  

Exemple d'évaluation de la résultante des forces pressantes : forces pressantes s'exerçant sur un barrage hémicylindriqueModifier

Présentation du barrage hémicylindriqueModifier

     On considère un barrage hémicylindrique d’axe  , de « hauteur  » [18] et de « rayon  », l’eau étant située du côté « concave » du barrage  voir les schémas de droite, en vue de dessus et en perspective, du paragraphe « invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes s'exerçant sur une paroi et conséquence sur la direction de la résultante des forces pressantes » plus haut dans ce chapitre , le repérage du point générique   du barrage étant cylindro-polaire d'axe  , axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle    choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau , l'axe   étant choisi horizontal dans le plan de symétrie du barrage, axe orienté dans le sens « eau - barrage » et l'axe   horizontal tel que « le trièdre   soit direct  l'espace physique étant orienté à droite [1] » [4],
     on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes   que l’eau exerce sur le barrage » quand la hauteur maximale d’eau est retenue.

Rappel des propriétés de symétrie déterminant la direction de la résultante des forces pressantesModifier

     d'une part le plan   étant un plan de symétrie de la répartition des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage [19], la résultante de ces forces pressantes   est dans ce plan d'où

« » ;

     d'autre part les forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage étant toutes horizontales  car le barrage est vertical , la résultante de ces forces pressantes   est aussi horizontale d'où

« » ;

     des deux informations précédentes on en déduit que la direction de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage   est horizontale selon   soit

« ».

Calcul de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrageModifier

     Soit   la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique  , elle se calcule selon

« » [20] avec
«  le vecteur surface élémentaire du barrage en  , point générique de ce dernier,
  y étant le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage », ou encore,

     en utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe  , axe vertical ascendant de révolution du barrage, de pôle    choisi sur l'axe de révolution au fond de l'étendue d'eau  nous en déduisons que

  • d'une part le vecteur unitaire normal orienté de l'eau vers le barrage s'identifie au 1er vecteur de base cylindro-polaire en   soit « » et
  • d'autre part l'aire de la surface élémentaire en   s'écrit « » [21],

     d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique  ,

« » [20] ;

     la pression   au point générique   du barrage s’obtenant par intégrale 1ère spatiale  l'axe vertical étant ascendant, l'intensité de la pesanteur uniforme égale à  , la masse volumique de l'eau   constante et   la pression de l'atmosphère à la surface libre de l'eau 

« » [22],
ou encore « » ;

   d'où la réécriture de l'expression intégrale de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique  ,

« [20],
                                                         » [23] ;

     pour terminer nous utilisons « »   « » ou,   étant un vecteur constant, « » soit enfin, avec « », «   » [24] dans lequel

  • « » et
  • « »

     d'où l'expression de la composante de la résultante des forces pressantes que l'eau exerce sur le barrage hémicylindrique   « » puis de la résultante « » :

« » soit finalement
« ».

     Remarque  : Dans l'hypothèse où l'eau retenue par le barrage est remplacée par de l'air  c.-à-d. si l'eau retenue a été libérée par ouverture des vannes d'évacuation , la résultante des forces pressantes que l'air exerce sur la partie du barrage hémicylindrique   usuellement immergée est « » [20] avec « » pour les mêmes raisons d'invariance de la répartition des forces pressantes par symétrie relativement à   d'où « » [20] ce qui donne,   étant un vecteur constant, « » [23] ou, « » sachant que    , soit « » [24] ou « »   « » ;

     Remarque : nous en déduisons que le remplissage de la réserve d'eau située en amont du barrage hémicylindrique   engendre une résultante de forces pressantes «   » soit « »  numériquement, avec  ,  ,   et  , «   » c.-à-d. une force de poussée horizontale équivalente au poids d'une charge de  [25] .

Autre exemple : résultante des forces pressantes sur un corps sphérique totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniformeModifier

Bien que ce ne soit pas précisé dans ce paragraphe, on rappelle que le fluide considéré et le corps y étant immergé sont au repos dans le référentiel d'étude.

Exposé du problème et expression de la force pressante que le fluide exerce sur un élément de surface de la sphère limitant le corps totalement immergéModifier

 
Corps sphérique   totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène   en équilibre isotherme dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation de la force pressante   que   exerce sur   en   point quelconque de la surface de ce dernier

     On considère un corps sphérique   de centre  , de rayon  , totalement immergé dans un fluide   à « masse volumique   constante »  réalisée si le fluide est incompressible et homogène en équilibre isotherme , le centre   étant repérée par sa « cote  » relativement à un axe vertical orienté dans le sens ascendant  voir le schéma ci-contre ,

     on se propose d’évaluer la « résultante des forces pressantes   que le fluide   exerce sur le corps  » appelée « poussée d'Archimède [26] dans la mesure où le corps   est indéformable » et pour cela

     on rappelle l'expression de la force pressante que le fluide   exerce sur le corps   sur l'élément de surface centré en   point générique de la surface   limitant le corps   de « vecteur surface élémentaire  »   étant le vecteur unitaire normal à   en   orienté vers l'extérieur et   l'aire de la surface élémentaire , soit

« » où
«  est la pression exercée par le fluide   sur la surface   au point  » ;

     compte-tenu du fait que la surface   limitant le corps   est une sphère de centre  , le meilleur repérage du point générique   de   est un repérage sphérique de pôle  , nous le choisissons d'axe vertical ascendant     « » le 1er vecteur de la « base sphérique liée à   orthonormée directe dans l'espace physique orienté à droite  » [4], le point   étant de « coordonnées  » ;

     la pression   exercée par le fluide   sur la surface   au point   s'obtient par application de l'intégrale 1ère spatiale du fluide selon «   » [22]  est un point du fluide à la même cote   que le centre   de la sphère avec   d'où, l'expression de la pression cherchée « » ou encore, celle-ci étant la même dans un même plan horizontal,

 
Corps sphérique   immergé dans un fluide incompressible et homogène   en équilibre isotherme dans un champ de pesanteur uniforme avec précision de l'invariance par symétrie plane de la répartition des forces pressantes   que le fluide   exerce sur le corps   relativement à tout plan vertical passant par le centre   du corps
« » d'où
« » avec
«  l'aire de la surface élémentaire de   centrée en  » [27].

Utilisation des propriétés de symétrie pour déterminer la direction de la résultante des forces pressantesModifier

     Tout plan vertical contenant le centre de la sphère  limitant le corps   est plan de symétrie de la répartition des forces pressantes «    que le fluide incompressible et homogène   en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme exerce sur le corps   en   point générique de  »  en effet   et   étant deux points de  , symétriques par rapport à  , sont dans un même plan horizontal et donc soumis à la même pression   d'une part et d'autre part ces points ayant une même colatitude   et des longitudes   séparées de   sont associés à des vecteurs surfaces élémentaires symétriques relativement à    mêmes aires élémentaires et 1ers vecteurs de base sphérique symétriques relativement à   voir ci-contre ,

     on en déduit que « la résultante des forces pressantes   que le fluide   exerce sur le corps  » possédant la même invariance de symétrie plane par rapport à tous ces plans verticaux est   à tous ceux-ci donc verticale soit

« ».

     Remarque : la répartition des forces pressantes que le fluide   exerce sur le corps   est « équivalente à sa résultante  » dans la mesure où le corps   est indéformable   est appelée « poussée d'Archimède » [26]  appliquée en un point   particulier de l'axe vertical passant par le centre   du corps sphérique, point particulier appelé « centre de poussée »  voir la justification dans la note « 12 » plus haut dans ce chapitre .

Calcul de la résultante des forces pressantes que le fluide exerce sur le corps sphériqueModifier

     L'expression de la force pressante que le fluide   exerce sur le corps   au point   de la surface   limitant le corps   étant «   » avec «  l'aire de la surface élémentaire de   centrée en  » [27], la résultante de ces forces pressantes s'évalue selon

« » [20] ou encore,

     sachant que la direction de la résultante est suivant la verticale c.-à-d. que « », on en déduit la composante verticale « » en projetant son expression intégrale sur  

« » [20] et,

     comme le vecteur unitaire   est constant, on peut permuter l'intégration surfacique et la multiplication scalaire puis utiliser « » selon

« » [20],

     enfin, la fonction à intégrer « » de l'intégrale surfacique étant « indépendante du paramètre    ne dépendant que de  », on peut remplacer   par l'aire d'une surface élémentaire semi-intégrée correspondant à une « couronne sphérique élémentaire comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment proches   et  » «   » [28], [29] soit finalement

« 
     
                                   »,
  • la 1ère intégrale « » s'évaluant selon « » et
  • la 2ème intégrale « » s'évaluant selon « »,

     d'où l'expression finale de la composante verticale de la résultante des forces pressantes que le fluide   exerce sur le corps  

« »
 
« »
c.-à-d. verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé » [30].

     Remarque : le calcul fait ci-dessus n’est applicable que dans un fluide à masse volumique constante comme par exemple un fluide incompressible, homogène à évolution isotherme mais  

     Remarque : le fait que la « résultante des forces pressantes est verticale ascendante de norme égale au poids du « fluide déplacé » [30] reste valable dans un fluide compressible et inhomogène   bien sûr, une autre démonstration de ce résultat doit être fournie  voir le paragraphe « en complément, démonstration du théorème d'Archimède » du chap.  de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » .

Notes et référencesModifier

  1. 1,0 et 1,1 Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. Ou vecteur élément de surface.
  3. Si la surface   est définie par une équation sous forme implicite  ,   est un point régulier de   si   y est continûment dérivable c.-à-d. de classe     il existe alors, en  , un plan tangent à  .
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 et 4,6 Une base directe, dans un espace orienté à droite  voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « 12 » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 À connaître sans hésitation ; reconnaître d'abord, dans la base du repérage choisi  et si cela est possible , le vecteur unitaire   à la surface considérée, l'aire de l'élément de surface en   est alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base ;
       la connaissance des composantes du vecteur déplacement élémentaire dans les différents systèmes de repérage entraîne l'absence d'effort de mémoire supplémentaire à faire  
  6. Voir le paragraphe « expression en paramétrage cartésien (du vecteur surface élémentaire) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. Voir le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (du vecteur surface élémentaire du plan xOy) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Voir le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (du vecteur surface élémentaire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe Oz) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. Voir le paragraphe « expression en paramétrage sphérique (du vecteur surface élémentaire de la sphère de centre O) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  10. Voir le paragraphe « expression en paramétrage sphérique (du vecteur surface élémentaire d'un cône de révolution de sommet O et d'axe Oz) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. Une répartition de forces pressantes est équivalente à sa résultante appliquée en un point si en ce point le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul ;
       soit   un point du plan de symétrie   par rapport auquel la répartition des forces pressantes est invariante,   un couple de points symétriques par rapport  , nous en déduisons que
    • d'une part, les forces pressantes appliquées en chacun des points du couple   et   étant symétriques par rapport à   et
    • d'autre part, les vecteurs position de   et   par rapport à  , à savoir   et  , étant également symétriques par rapport à  ,
       les moments vectoriels par rapport à   des forces pressantes en chacun des points du couple, à savoir   et   sont invariants par antisymétrie plane relativement à    voir le paragraphe « invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour la notion d'antisymétrie plane ainsi que le fait que le produit vectoriel de deux vecteurs polaires  ou vrais vecteurs  est un vecteur axial  ou pseudo-vecteur , voir le paragraphe « produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires) » du même chap.  de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les notions de vrais vecteurs et de pseudo-vecteurs étant exposées dans les paragraphes « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » et «définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial)» du même chap.  de cette même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  c.-à-d. de même composante selon une direction   à   et de composantes opposées dans le plan     un moment vectoriel résultant en   des forces pressantes de direction   à   ;
       finalement notant   le plan   et   l'axe   à   en  , « la résultante des forces pressantes s'écrivant  » et « le moment vectoriel résultant en   de ces forces pressantes  », nous en déduisons, en utilisant la formule de changement d'origine des moments vectoriels résultants  voir le paragraphe « complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière » du chap.  de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » applicable aussi à une somme partielle de forces , le moment vectoriel résultant en un autre point   de coordonnées   selon « » soit finalement «   »   il existe une infinité de points   en lequel le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul, ces points se trouvant sur la droite d'équation dans le plan   « »  de cette équation nous déduisons que   est un vecteur directeur de la droite, c.-à-d. que la droite est   à   ;
       en conséquence, la répartition de forces pressantes considérée est équivalente à sa résultante appliquée en un point quelconque de cette droite.
       En utilisant la notion de torseur  hors programme de physique de P.C.S.I.  et d'après le résultat établi ci-dessus, les forces pressantes considérées définissent un torseur glisseur  voir le paragraphe « définition un torseur glisseur » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » , la droite, ensemble des points origines en lesquels le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul étant l'axe central du torseur glisseur  voir les paragraphes « définition d'axe central d'un torseur » et « 1ère propriété d'un torseur glisseur » du même chap.  de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » , ce dernier étant encore appelé « support du glisseur ».
  13. Voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions (2ème conséquence pratique) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » exposant que le champ vectoriel invariant par symétrie plane en un point   de ce plan est contenu dans ce dernier.
  14. 14,0 14,1 et 14,2 Paroi au sens large, sur l'exemple choisi la paroi est composée de deux surfaces hémicylindriques l'une concave et l'autre convexe.
  15. Voir le paragraphe « invariance par antisymétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. Une répartition de forces pressantes est équivalente à sa résultante appliquée en un point si en ce point le moment vectoriel résultant des forces pressantes est nul ;
       soit   un point du plan d'antisymétrie   par rapport auquel la répartition des forces pressantes est invariante,   un couple de points symétriques par rapport  , nous en déduisons que
    • d'une part, les forces pressantes appliquées en chacun des points du couple   et   étant antisymétriques par rapport à   et
    • d'autre part, les vecteurs position de   et   par rapport à  , à savoir   et  , étant quant à eux symétriques par rapport à  ,
       les moments vectoriels par rapport à   des forces pressantes en chacun des points du couple, à savoir   et   sont invariants par symétrie plane relativement à    voir le paragraphe « invariance par symétrie plane d'un champ vectoriel de l'espace à trois dimensions » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour la notion de symétrie plane ainsi que le fait que le produit vectoriel d'un vecteur polaire  ou vrai vecteur  invariant par symétrie et d'un autre vecteur polaire  ou vrai vecteur  invariant par antisymétrie, tous deux de point d'application  , se transforme, en prenant le point d'application  , en un vecteur égal au symétrique du produit vectoriel initial de point d'application    en effet, leurs composantes respectives   au plan   restent les mêmes  celles-ci résultant des produits vectoriels  ,  ,   et   dans lesquels   est changé en son opposé,   et   restant inchangés,   restant inchangé,   et   sont changés en leur opposé  alors que celle   au plan se transforme en son opposé  celle-ci résultant des produits vectoriels   et   dans lesquels   et   restant inchangés,   et   sont changés en leur opposé  c.-à-d. de composantes opposées selon une direction   à   et de mêmes composantes dans le plan     un moment vectoriel résultant en   des forces pressantes de direction   à   ;
       finalement notant   le plan   et   l'axe   à   en  , « la résultante des forces pressantes s'écrivant