Statistique à deux variables/Séries de données statistiques quantitatives à deux variables

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Série statistiques à deux variables

Définition

$X$ et $Y$ désignent deux variables statistiques quantitatives observées sur $n$ individus d'une même population.

Pour $1\leq i\leq n$, $x_{i}$ et $y_{i}$ désignent les $n$ mesures relevées pour $X$ et $Y$.

Les $n$ couples $(x_{i};y_{i})$ forment une série statistique à deux variables.

Remarque : Nous pouvons étudier séparément chacune des séries X et Y comme des séries statistiques à une variable et calculer leurs moyennes, médiane, écart-type, etc. Voir Statistique à une variable. Dans la présente leçon, ce sont les relations entre X et Y qui nous intéressent.

Nuage de points

Définition

Dans un repère orthogonal, on peut représenter l’ensemble des $n$ points $M_{i}(x_{i};y_{i})$.

Ils forment le nuage de points de la série (X;Y)

Notation

Pour simplifier l'exposé des formules, nous utiliserons la notation $\sum$

pour signifier la somme sur toutes les valeurs prises par $i$.

Par exemple : $x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

Point moyen

Définition

Le point moyen de la série $(X;Y)$ est le point $G$ de coordonnées $({\bar {x}};{\bar {y}})$ où :

${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

${\bar {y}}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots +y_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}$

Ajustement

Lorsque les deux variables $X$ et $Y$ sont liées l'une à l'autre, on peut s'attendre à ce que le nuage de points présente une forme particulière.

Définition

Effectuer un ajustement de $y$ en $x$ d'un nuage de points consiste à trouver

une fonction $f$ telle que la courbe $y=f(x)$ passe "le plus près possible" des points du nuage.

Remarque : la courbe peut être une droite ou une parabole.

ou bien il peut ne pas y avoir de courbe visible :

Parfois, une courbe est suggérée mais ne correspond pas parfaitement au nuage :

Méthodes sommaires d'ajustement affine

Deux méthodes peuvent être proposées pour une approche rapide de la notion d'ajustement affine.

• La méthode empirique : l'opérateur choisit parmi les droites passant par le point moyen G celle qui lui semble épouser au mieux l'allure du nuage. Peu rigoureuse, cette méthode est très subjective.
• La méthode de Mayer : l'opérateur partage le nuage de points en deux parties de même effectif, éventuellement à une unité près, puis détermine les points moyens $G_{1}$ et $G_{2}$ de chaque sous-nuage. La droite retenue est alors $(G_{1}G_{2})$ dont on démontre qu'elle passe nécessairement par G. Malgré son apparence plus mathématique, cette méthode - enseignée dans certaines classes pour sa facilité d'accès - est d'une validité aléatoire.