Statistique inférentielle/Estimation d'un paramètre

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Estimation d'un paramètre
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Chapitre no 2
Leçon : Statistique inférentielle
Chap. préc. :Intervalle de confiance
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Statistique inférentielle/Estimation d'un paramètre
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Le problème de l'estimationModifier

On désire connaître la valeur d'un paramètre (moyenne m, écart-type   ou fréquence d'une modalité p) d'une variable statistique liée à une population de taille N.

Mais on ne dispose pour cela que d'un échantillon de taille n (typiquement supérieur à 30).

On a une correspondance entre les paramètres sur la population et les paramètres sur l'échantillon.

On notera les paramètres calculés à partir de l'échantillon avec une barre :

Population mère Échantillon
Effectif N n
Moyenne m  
Écart-type    
Fréquence f  


La question posée est :

Les paramètres de l'échantillon constituent-ils de bonnes estimations des paramètres inconnus de la population ?

Sinon, y en a-t-il de meilleurs ?

Estimation d'une moyenneModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Estimation de l'écart-typeModifier

La meilleure estimation de l'écart-type   de la population n’est pas l'écart-type   de l'échantillon.

Début d’un théorème
Fin du théorème


ExempleModifier

Une usine fabrique des pièces cylindriques dont on mesure le diamètre.

On obtient sur un échantillon :


Diamètre [23,59;23,61[ [23,61;23,63[ [23,63;23,65[ [23,65;23,67[ [23,67;23,68[
Effectif 6 8 51 30 5

1) Calculer la moyenne   et l'écart-type   de cet échantillon.

2) Donner une estimation de la moyenne   et de l'écart-type   de la production totale.

Estimation d'une fréquenceModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


ExempleModifier

Dans un échantillon de 150 pièces, on a relevé 3 pièces défectueuses.

Donner une estimation du pourcentage de pièces défectueuses dans la production.

IncertitudeModifier

Malgré la certitude que nous donne ces théorèmes quant au fait d’avoir les meilleures estimations possibles, il n'y a aucune raison que les paramètres de l'échantillon correspondent exactement à ceux de la population.

On peut quantifier l'incertitude relative à ces estimations grâce à la théorie des intervalles de confiance.