Statistique inférentielle/Test d'hypothèse

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Test d'hypothèse
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Chapitre no 5
Leçon : Statistique inférentielle
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IntroductionModifier

Il s'agit, à partir de l'étude d'un ou plusieurs échantillons, de prendre des décisions concernant la population-mère.

Test bilatéralModifier


Hypothèse d'égalité d'un paramètre statistique avec un nombre fixéModifier

  • Un paramètre   d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre   annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse   : "le paramètre réel   est égal au paramètre annoncé  ".
L'hypothèse alternative   : "le paramètre réel   est différent du paramètre annoncé  ".
  • On prélève un échantillon de taille   de paramètre   :
  • En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation   de   au seuil de risque  .
si   alors l'hypothèse   est acceptée.
sinon elle est refusée.

Hypothèse d'égalité d'une moyenne avec un nombre fixéModifier

  • La moyenne   d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est égale à un nombre   annoncée à l'avance.

On a donc l'hypothèse   : "la moyenne réelle   est égale à la moyenne annoncée  ".
  • On prélève un échantillon de taille   de moyenne   :
  • D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse  ,
la moyenne   des échantillons de taille   suit une loi normale  .

Ceci donne un intervalle d'acceptation   de   au seuil de risque  .

 

  est le nombre tel que   et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si  , cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

  • si   alors l'hypothèse   est acceptée.
  • sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette  , cela signifie que :

  • Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
  • Soit l'hypothèse   est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter   alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

RemarqueModifier

  • Accepter   alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.

Test unilatéralModifier


Comparaison d'un paramètre statistique avec un nombre fixéModifier

  • Un paramètre   d'une population est inconnu.

On désire savoir s'il est égal à un nombre   annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse   : "le paramètre réel   est égal au paramètre annoncé  ".
L'hypothèse alternative   : "le paramètre réel a est strictement supérieur au paramètre annoncé  ".
  • On prélève un échantillon de taille   de paramètre   :
  • En utilisant des théorèmes de probabilités, on donne un intervalle d'acceptation   de   au seuil de risque  .
si   alors l'hypothèse   est acceptée.
sinon elle est refusée.

Comparaison d'une moyenne avec un nombre fixéModifier

  • La moyenne   d'une population est inconnue.

On désire savoir si elle est supérieure à un nombre   annoncé à l'avance.

On a donc l'hypothèse   : "la moyenne réelle   est égale à la moyenne annoncée  ".
L'hypothèse alternative   : "la moyenne réelle   est strictement supérieure à la moyenne annoncée  ".
  • On prélève un échantillon de taille n de moyenne   :
  • D'après l'intervalle de confiance de la moyenne, et sous l'hypothèse  , la moyenne   des échantillons de taille   suit une loi normale  .

Ceci donne un intervalle d'acceptation   de   au seuil de risque  .

 

  est le nombre tel que   et se lit dans la table de la loi normale N(0;1)

Par exemple, si  , cela signifie que 90 % des échantillons ont une moyenne dans cette intervalle.

On en déduit la règle du test :

  • si   alors l'hypothèse   est acceptée.
  • sinon elle est refusée.

Ainsi, en supposant que l'on rejette  , cela signifie que :

  • Soit on a un échantillon non représentatif (ce qui ne se produit que dans 10 % des cas).
  • Soit l'hypothèse   est effectivement fausse.

La probabilité de rejeter   alors qu'elle est vraie est donc de 10 %.

C'est le risque de première espèce.

RemarqueModifier

  • Accepter   alors qu'elle est fausse est le risque de deuxième espèce.

Il n'est pas identique au premier.

On pourrait procéder de même avec une fréquence ou tout autre paramètre statistique.