Système d'équations linéaires/Exercices/Système et résolution arithmétique

Problème

Un sac contient 154 € en pièces de 2 € et en billets de 5 €.

Au total, il y a 41 pièces et billets.

Déterminer le nombre de pièces et le nombre de billets.

Une solution arithmétique

1° Si le sac contenait uniquement des pièces, quelle somme A contiendrait-il ?

Solution

Si le sac contient uniquement des pièces, il y aurait donc 41 pièces de 2 € chacune, soit un total de 82 €

A = 82

 

2° Si le sac contenait uniquement des billets, quelle somme B contiendrait-il ?

Solution

Si le sac contient uniquement des billets, il y aurait donc 41 billets de 5 € chacun, soit un total de 205 €

B = 205

 

3° Compléter le tableau suivant :

Solution

Soit p le nombre de pièces à trouver Soit b le nombre de billets à trouver

Nous pouvons écrire : (1) 2p + 5 b = 154

                     (2)  p + b   = 41
    

De 2 je déduis b = 41 - p

donc (1) peut s'écrire :

2p + 5(41 - p) = 154 ; 2p + 205 - 5p = 154 ; - 3p + 205 = 154 ; 205 - 154 = 3p ; 51 = 3p ; donc p = 17 et b = 41 - 17 = 24

Donc le sac contient 17 pièces et 24 billets.

ce qui donne 17 × 2 + 24 × 5 = 34 + 120 = 154 €

 

4° S'il y avait 143 pièces et billets dans le sac, combien y aurait-t-il de pièces, combien de billets ?

Solution

Il est dit que : Un sac contient 154 € en pièces de 2 € et en billets de 5 €. S'il y avait 143 pièces et billets dans le sac, combien y aurait-t-il de pièces, combien de billets ?

S'il y avait uniquement des pièces dans le sac
 la somme contenue dans le sac serait minimum et égale à 143 × 2 = 286 €

'S'il y avait uniquement des billets dans le sac

 la somme contenue dans le sac serait maximum et égale à 143 × 5 = 715 €.

Conclusion : En aucun cas on ne pourrait obtenir un mélange de 141 pièces et billets donnant la somme de 154 €.

 

5° Conclusion :

Solution

Il n'y a pas de solution satisfaisant au problème qui, par conséquent, est insoluble.