Système d'équations linéaires/Solutions d'un système de deux équations

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Définition

Définition

Les solutions du système linéaire (S) :

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\\\end{cases}}$

sont les couples $(x;y)$ qui vérifient simultanément (à la fois) les deux équations.

• Résoudre un système consiste à déterminer toutes ses solutions.

Interprétation graphique

Début d’un théorème

Théorème

Les solutions du système linéaire (S) :

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\\\end{cases}}$

sont les coordonnées des points d'intersection de deux droites correspondant aux équations du système :

• Il y a une unique solution ssi les deux droites sont sécantes.
• Il n'y a pas de solution ssi les droites sont strictement parallèles.
• Il y a une infinité de solutions ssi les deux droites sont confondues.

Fin du théorème

Déterminant

Début d’un théorème

Théorème

Le système linéaire (S) :

${\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\\\end{cases}}$

possède une unique solution ssi $a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}\neq 0$.

Fin du théorème