Théorème de Pythagore/Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, quand on connaît les longueurs de deux côtés, l'égalité de Pythagore permet de calculer la longueur du troisième côté.

**Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle**
Leçon : Théorème de Pythagore

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Théorème de Pythagore

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Théorème de Pythagore/Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Cas numéro 1 : calculer la longueur de l'hypoténuse.

Exemple

IJK est un triangle rectangle en I tel que IJ = 3 cm et IK = 4 cm. Calculer la longueur JK.

Le triangle IJK est rectangle en I. D'après le théorème de Pythagore :

KJ² = IK² + IJ²
KJ² = 4² + 3²
KJ² = 25
KJ = ${\sqrt {25}}$ = 5 cm.

Exemple de problèmes à résoudre à l'aide de l'égalité de Pythagore

Un smartphone a pour dimensions 8,9 cm sur 5 cm. Quelle est la longueur de sa diagonale?

Donner la valeur exacte et une valeur approchée au millimètre près.

Conseil

Lorsqu'il n'y a pas de figure dans un énoncé de géométrie, on peut :

Faire une figure à main levée pour schématiser le problème et pour aider à le visualiser.
Nommer des points sur la figure, indiquer les dimensions connues et coder-la (angle droit, longueurs égales, etc.).

Solution :

On va modéliser le smartphone par un rectangle ABCD et on cherche la longueur AC. Le triangle ADC est rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore :

AC² = DA² + DC²
AC² = 8,9² + 5²
AC² = 79, 21 + 25
AC² = 104, 21
AC = ${\sqrt {104.21}}$ cm --> valeur exacte
AC ≃ 10, 2083
AC ≃ 10,2 cm --> valeur approchée au mm près.

Conclusion

La diagonale du smartphone mesure environ 10,2 cm.

Cas numéro 2 : calculer la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit.

Exemple de problème à résoudre à l'aide de l'égalité de Pythagore

EFG est un triangle rectangle en E tel que EG = 3 cm et FG = 6 cm. Calculer la longueur EF.

Donner la valeur exacte et une valeur approchée au dixième de cm.

Solution :

On écrit l'égalité de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E :

GF² = EF² + EG²
6² = EF² + 3²
36 = EF² + 3²
EF² + 9 = 36
EF² = 36 - 9
EF² = 27
EF = ${\sqrt {27}}$ cm --> valeur exacte
EF ≃ 5,2 cm --> valeur approchée au dixième de cm.

Conclusion

La longueur EF mesure environ 5,2 cm.

Exemple de problème à résoudre à l'aide de l'égalité de Pythagore

Un massif de fleurs a la forme d’un triangle rectangle et le jardinier veut l’entourer d’une clôture. Au moment de l’acheter, il s’aperçoit qu’il a oublié de mesurer un des côtés de l’angle droit. Les deux seules mesures dont il dispose sont, en mètres : 6,75 et 10,59.

Aidez-le à calculer la longueur de la clôture qu’il doit acheter.

Conseil

Faire un schéma!

Solution :

On fait une figure à main levée du massif de fleurs (qui a la forme d'un triangle rectangle) et on nomme ses sommets.

1) On cherche à calculer la longueur manquante, c'est-à-dire la longueur AB (qui est un côté de l'angle droit).

Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :

BC² = AB² + AC²
10,59² = 6,75² + AC²
112, 1481 = 45,5625 + AC²
AC² = 112, 1481 - 45,5625
AC² = 66, 5856
AC = ${\sqrt {66,5856}}$
AC = 8,16 m.

2) On calcule la longueur de la clôture qu’il doit acheter qui est égale au périmètre du triangle ABC :

P(ABC) = AB + BC + AC = 8,16 + 10,59 + 6, 75 = 25,5 m.

Conclusion

Le jardinier doit acheter 25,5 m de clôture.