Théorie cinétique des gaz/Grandeurs thermodynamiques

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Introduction

L'intérêt de la théorie cinétique des gaz, c’est qu'elle donne une interprétation microscopiques aux grandeurs observées macroscopiquement — notamment température et pression.

Énergie interne

En l'absence d'interactions, la seule énergie d'un gaz tel que décrit jusqu'ici est celle de ses particules en mouvement : autrement dit, son énergie interne se résume à son énergie cinétique, ce que l’on écrit :

$U={\mathcal {E}}_{c}$

Température

L'explication historique de la température par la théorie cinétique des gaz est la suivante :

Début d’un principe

Origine microscopique de la température

La température est la perception macroscopique de l'agitation incessante des particules constituant le gaz.

Fin du principe

L'énergie cinétique du gaz peut s'écrire :

${\mathcal {E}}_{c}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}={\frac {N}{2}}m\langle v^{2}\rangle$

L'énergie cinétique moyenne par particule est donc :

$e_{c}={\frac {1}{2}}m\langle v^{2}\rangle$

On peut noter que ${\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}$ est parfois appelé moyenne quadratique de la vitesse (aussi appelée vitesse moyenne quadratique) des particules.

Température

On définit la température comme une quantité proportionnelle à l'énergie moyenne par particule :

$e_{c}={\frac {3}{2}}k_{B}T$

Avec k_B la constante de Boltzmann, égale au rapport R/N_A.

Pression

L'explication historique de la pression par la théorie cinétique des gaz est la suivante :

Début d’un principe

Origine microscopique de la pression

La pression est la perception macroscopique de l'effet de nombreux chocs des particules sur les parois du récipient (ou sur un objet plongé dans le gaz).

Fin du principe

Ce résultat n’est pas élémentaire. Pour le retrouver simplement, nous allons devoir faire un certain nombre d'hypothèses. Néanmoins, il restera valable bien au delà du cadre de cette démonstration.

On suppose le récipient cubique, et la distribution des vitesses isotropes. Il y a donc autant de chocs sur chacune des faces du cube. Un cube possède 6 faces, qui reçoivent ainsi 1/6 de tous les chocs chacune. On choisit une base orthonormée dont les axes passent par le centre de trois faces. Ainsi, le théorème de Pythagore permet d'affirmer que :

$\langle v_{1}^{2}\rangle +\langle v_{2}^{2}\rangle +\langle v_{3}^{2}\rangle =\langle v^{2}\rangle$

ayant indicé 1, 2 ou 3 selon l’axe concerné. Puisque les vitesses sont isotropes, on a en fait :

$\langle v_{1}^{2}\rangle =\langle v_{2}^{2}\rangle =\langle v_{3}^{2}\rangle$

Donc :

$\langle v_{1}^{2}\rangle =\langle v_{2}^{2}\rangle =\langle v_{3}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$

Nous pourrons donc considérer une seule face pour l'instant. Les chocs contre les parois sont élastiques : l'énergie est conservée et une particule repart après impact dans la direction opposée et à la même vitesse qu'en arrivant. Son impulsion varie donc de :

$\Delta \mathbf {p} =-\mathbf {p} -(+\mathbf {p} )=-2m\mathbf {v}$

D'après le principe de l'action et de la réaction, cette quantité de mouvement est transmise à la paroi :

$\Delta \mathbf {p} _{\mathrm {paroi} }=+2m\mathbf {v}$

Reste à savoir combien de particules frappent la paroi à chaque instant. Cela se fait par un simple calcul de flux. Le principe fondamental de la dynamique montre alors qu’il s'exerce sur elle une force surfacique.

Pression

La pression est la force surfacique due aux chocs des particules, elle est donnée par : $P={\frac {1}{3}}m\langle n\rangle \langle v^{2}\rangle$ en notant $\langle n\rangle$ la densité de particules n/V.

Remarque : d’après l'équation précédente,

${\begin{aligned}P&=&{\frac {1}{3}}m\langle n\rangle \langle v^{2}\rangle \\{\frac {3}{2}}P&=&{\frac {1}{2}}m\langle n\rangle \langle v^{2}\rangle \\{\frac {3}{2\langle n\rangle }}P&=&e_{c}\end{aligned}}$

Il existe ainsi un lien immédiat entre pression et température.

Équation d'état

Nous allons montrer que ces résultats amènent à la formulation d'une équation d'état, c'est-à-dire une relation liant différentes grandeurs thermodynamiques :

$P={\frac {1}{3}}m\langle n\rangle \langle v^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}m{\frac {n}{V}}\langle v^{2}\rangle$

Ainsi, un système aussi simple est entièrement caractérisé par deux grandeurs thermodynamiques, la troisième s'en déduisant : il s'agit du modèle du gaz parfait. Ce modèle sera plus profondément analysé dans le chapitre suivant. On a ainsi :

$PV=n{\frac {1}{3}}m\langle v^{2}\rangle$

D'autre part, la température s'écrit :

${\frac {3}{2}}k_{B}T={\frac {1}{2}}m\langle v^{2}\rangle$

$k_{B}T={\frac {1}{3}}m\langle v^{2}\rangle$

En remplaçant cette expression dans le produit PV, on a :

$PV=nk_{B}T=n{\frac {R}{{\mathcal {N}}_{A}}}T$

Le rapport n/N_A n'est autre que la quantité de matière en mol, que l’on note N. On a donc :

Équation d'état

Dans le modèle du gaz parfait, on a l'équation d'état suivante :

$PV=nRT$